komplex diffbar < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo noch ein letztes Mal für diese Woche!
Folgende Aufgabe würde ich noch gerne lösen (gehört die auch in die Funktionentheorie?):
Betrachte die auf dem Gebiet [mm] U\subset\IC [/mm] zweimal komplex differenzierbare Funktion f=g+ih, mit reellwertigen Funktionen g und h. Zeige, dass wenn (i) g konstant oder (ii) h konstant oder (iii)|f| konstant ist, dann ist die Funktion f selbst konstant.
Naja, hier muss man wohl über die Ableitung gehen, also wenn eine der Funktionen konstant ist, dann ist ja die Ableitung =0. Wenn also in (i) die Funktion g konstant ist, heißt das dann, dass:
[mm] \bruch{\partial{g}}{\partial{x}}=0 [/mm] und [mm] \bruch{\partial{g}}{\partial{y}}=0? [/mm] Oder hängt g sowieso nur von einer Variablen ab? Das dachte ich eigentlich, aber dann weiß ich nicht, wie ich das schreiben soll...
Und vor allem - wie geht's dann weiter? Wenn ganz f konstant ist, muss doch auch die ganze Ableitung =0 sein, und das wäre doch [mm] \bruch{1}{2}(\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}-i\bruch{\partial{f}}{\partial{y}}, [/mm] aber bei mir bleibt da irgendwie noch was übrig... :-/
Ich denke, wenn ich die schaffe, schaffe ich auch die (ii), aber bei der (iii) bräuchte ich noch einen kleinen Ansatz, was ich denn mit |f| mache...
Vielleicht könnte mir jemand helfen?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Folgende Aufgabe würde ich noch gerne lösen (gehört die
> auch in die Funktionentheorie?):
Ja! Alles, was mit komplexer Analysis zu tun hat, gehört hierhin... 
> Betrachte die auf dem Gebiet [mm]U\subset\IC[/mm] zweimal komplex
> differenzierbare Funktion f=g+ih, mit reellwertigen
> Funktionen g und h. Zeige, dass wenn (i) g konstant oder
> (ii) h konstant oder (iii)|f| konstant ist, dann ist die
> Funktion f selbst konstant.
>
> Naja, hier muss man wohl über die Ableitung gehen, also
> wenn eine der Funktionen konstant ist, dann ist ja die
> Ableitung =0. Wenn also in (i) die Funktion g konstant ist,
> heißt das dann, dass:
> [mm]\bruch{\partial{g}}{\partial{x}}=0[/mm] und
> [mm]\bruch{\partial{g}}{\partial{y}}=0?[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Oder hängt g sowieso
> nur von einer Variablen ab?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Das dachte ich eigentlich, aber
> dann weiß ich nicht, wie ich das schreiben soll...
>
> Und vor allem - wie geht's dann weiter? Wenn ganz f
> konstant ist, muss doch auch die ganze Ableitung =0 sein,
> und das wäre doch
> [mm]\bruch{1}{2}(\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}-i\bruch{\partial{f}}{\partial{y}},[/mm]
> aber bei mir bleibt da irgendwie noch was übrig... :-/
Denke mal an die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen, die ja nach Voraussetzung gelten... Damit kannst du zeigen, dass auch die partiellen Ableitungen von $h$ verschwinden, wobei $f=g+ih$.
> Ich denke, wenn ich die schaffe, schaffe ich auch die (ii),
> aber bei der (iii) bräuchte ich noch einen kleinen Ansatz,
> was ich denn mit |f| mache...
>
> Vielleicht könnte mir jemand helfen?
Versuchst du es mal damit?
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Do 05.05.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> > Betrachte die auf dem Gebiet [mm]U\subset\IC[/mm] zweimal komplex
> > differenzierbare Funktion f=g+ih, mit reellwertigen
> > Funktionen g und h. Zeige, dass wenn (i) g konstant oder
> > (ii) h konstant oder (iii)|f| konstant ist, dann ist die
> > Funktion f selbst konstant.
> >
> > Naja, hier muss man wohl über die Ableitung gehen, also
> > wenn eine der Funktionen konstant ist, dann ist ja die
> > Ableitung =0. Wenn also in (i) die Funktion g konstant ist,
> > heißt das dann, dass:
> > [mm]\bruch{\partial{g}}{\partial{x}}=0[/mm] und
> > [mm]\bruch{\partial{g}}{\partial{y}}=0?[/mm]
>
>
> Denke mal an die Cauchy-Riemannschen
> Differentialgleichungen, die ja nach Voraussetzung
> gelten... Damit kannst du zeigen, dass auch die partiellen
> Ableitungen von [mm]h[/mm] verschwinden, wobei [mm]f=g+ih[/mm].
Danke für den Tipp - hätte ich auch selber drauf kommen können... ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
[Dateianhang nicht öffentlich]
Stimmt das denn so? War mir da am Ende nicht mehr so ganz sicher, ob die Begründung stimmt. Und könnte man das nicht auch eigentlich schon nach der vorletzten Zeile sagen, da steht ja auch schon:
[mm] -\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}=-\bruch{\parital{h}}{\partial{x}} [/mm] - und das geht doch quasi auch schon nur, wenn das gleich 0 ist, oder?
> > Ich denke, wenn ich die schaffe, schaffe ich auch die (ii),
> > aber bei der (iii) bräuchte ich noch einen kleinen Ansatz,
> > was ich denn mit |f| mache...
> >
> > Vielleicht könnte mir jemand helfen?
>
> Versuchst du es mal damit?
Hab' ich gemacht!  Ich glaub' (jedenfalls laut meines Schmierzettels) geht die (ii) exakt genauso, aber für die (iii) könntest du mir noch einen Tipp für den Anfang geben? Was heißt das denn, wenn |f| konstant ist?
Und noch eine Frage: Warum war in der Aufgabe vorausgesetzt, dass f zweimal komplex diffbar ist? An welcher Stelle brauche ich das?
Viele Grüße
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:02 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Stimmt das denn so?
Ich kann es kaum lesen, aber es scheint zu stimmen.
> War mir da am Ende nicht mehr so ganz
> sicher, ob die Begründung stimmt. Und könnte man das nicht
> auch eigentlich schon nach der vorletzten Zeile sagen, da
> steht ja auch schon:
>
> [mm]-\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}=-\bruch{\parital{h}}{\partial{x}}[/mm]
> - und das geht doch quasi auch schon nur, wenn das gleich 0
> ist, oder?
Nein, daraus folgt nichts.
> > > Ich denke, wenn ich die schaffe, schaffe ich auch die (ii),
> > > aber bei der (iii) bräuchte ich noch einen kleinen Ansatz,
> > > was ich denn mit |f| mache...
Wenn $f [mm] \equiv [/mm] 0$ gilt, ist nichts zu zeigen. Ansonsten gibt es ein [mm] $z_0$ [/mm] mit [mm] $f(z_0)\ne [/mm] 0$ und wegen der Stetigkeit von $f$ auch eine ganze Umgebung $U$ von [mm] $z_0$, [/mm] auf der $f$ nicht veschwindet. Da $|f|$ konstant ist, so auch [mm] $|f|^2=f\bar{f}$. [/mm] Daher ist [mm] $\bar{f}=\frac{f}{|f|^2}$ [/mm] holomorph. Wendet man nun auf [mm] $\bar{f}$ [/mm] die CR-Differentialgleichungen an und vergleicht diese mit den CR-Differentialgleichungen von $f$, so sieht man, dass $f$ auf $U$ konstant sein muss.
Jetzt musst du noch zeigen, dass $f$ dann auch global konstant ist. Da dir entsprechende Sätze fehlen, die das sofort erledigen, musst du es elementar zeigen. Sei [mm] $z_1 \in \IC$ [/mm] beliebig. Dann findest du einen stetigen Weg [mm] $\gamma:[0,1] \to \IC$ [/mm] mit [mm] $\gamma(0)=z_0$, $\gamma(1)=z_1$. [/mm] Sei
(*) [mm] $t_0:= \sup\{t \in [0,1]\, : \, f(\gamma(t)) =f(z_0)\}$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $t_0=1$. [/mm] Wegen der Stetigkeit von $f$ gilt
[mm] $f(\gamma(t_0))=f(z_0)$.
[/mm]
Wäre [mm] $t_0 \ne [/mm] 1$, so könnte man für [mm] $\gamma(t_0)$ [/mm] die gleiche Argumentation durchführen wie oben durchführen, d.h. es gibt eine Umgebung um [mm] $\gamma(t_0)$, [/mm] auf der $f$ konstant ist. Dies stellt einen Widerspruch da zu (*). Daher ist [mm] $t_0=1$, [/mm] und alles ist gezeigt.
Liebe Grüße
Stefan
P.S.
> > > Vielleicht könnte mir jemand helfen?
> Und noch eine Frage: Warum war in der Aufgabe
> vorausgesetzt, dass f zweimal komplex diffbar ist? An
> welcher Stelle brauche ich das?
Nirgendswo. (Mal abgesehen davon, dass jede holomorphe Funktion sowieso unendlich oft komplex differenzierbar ist; aber diesen Satz hattet ihr vermutlich noch nicht; dafür benötigt man nämlich i.A. die Cauchysche Integralformel.)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Mi 13.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> > Wenn [mm]f \equiv 0[/mm] gilt, ist nichts zu zeigen. Ansonsten gibt
> > es ein [mm]z_0[/mm] mit [mm]f(z_0)\ne 0[/mm] und wegen der Stetigkeit von [mm]f[/mm]
> > auch eine ganze Umgebung [mm]U[/mm] von [mm]z_0[/mm], auf der [mm]f[/mm] nicht
> > veschwindet. Da [mm]|f|[/mm] konstant ist, so auch [mm]|f|^2=f\bar{f}[/mm].
>
> 1. Wofür brauche ich das mit der Stetigkeit und so? Kann
> ich nicht direkt schreiben: aus |f| konstant folgt
> [mm]|f|^2=f\bar{f}[/mm] konstant?
Das ist richtig. Aber es könnte ja sein, dass [mm] $|f|^2$ [/mm] konstant gleich $0$ ist. Da wir später durch [mm] $|f|^2$ [/mm] teilen, muss gewährleistet sein, dass [mm] $|f|^2\ne [/mm] 0$ gilt.
> > Daher ist [mm]\bar{f}=\frac{f}{|f|^2}[/mm] holomorph. Wendet man nun
> > auf [mm]\bar{f}[/mm] die CR-Differentialgleichungen an und
> > vergleicht diese mit den CR-Differentialgleichungen von [mm]f[/mm],
> > so sieht man, dass [mm]f[/mm] auf [mm]U[/mm] konstant sein muss.
>
> 2. Warum ist denn dann [mm]\bar{f}[/mm] holomorph?
Weil $f$ holomorph ist und [mm] $\bar{f}$ [/mm] gleich $f$ ist, geteilt durch eine Konstante. Dadurch ist [mm] $\bar{f}$ [/mm] als konstantes Vielfaches einer holomorphen Funktion wieder holomorph.
> 3. Und das Ende mit den CR-Dgl. verstehe ich irgendwie
> auch gerade nicht. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Ob du mir vielleicht nochmal helfen könntest?
Selbstverständlich. Es besteht ja (leider) auch nicht viel Hoffnung, dass hier mal jemand anderes eine Frage zur Funktionentheorie beantwortet.
Es gilt:
(*) $Re(f) = [mm] Re(\bar{f})$
[/mm]
und
(**) $Im(f) = - [mm] Im(\bar{f})$.
[/mm]
Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen besagen ja für $f$:
(1) [mm] $\frac{\partial Re(f)}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{\partial Im(f)}{\partial y}$,
[/mm]
(2) [mm] $\frac{\partial Re(f)}{\partial y} [/mm] = [mm] -\frac{\partial Im(f)}{\partial x}$
[/mm]
und analog für [mm] $\bar{f}$:
[/mm]
[mm] $\frac{\partial Re(\bar{f})}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{\partial Im(\bar{f})}{\partial y}$,
[/mm]
[mm] $\frac{\partial Re(\bar{f})}{\partial y} [/mm] = [mm] -\frac{\partial Im(\bar{f})}{\partial x}$.
[/mm]
Unter Beachtung von (*) und (**) bedeuten die beiden letzten Gleichungen:
(3) [mm] $\frac{\partial Re(f)}{\partial x} [/mm] = [mm] -\frac{\partial Im(f)}{\partial y}$,
[/mm]
(4) [mm] $\frac{\partial Re(f)}{\partial y} [/mm] = [mm] \frac{\partial Im(f)}{\partial x}$.
[/mm]
Aus (1)-(4) folgt:
$0 = [mm] \frac{\partial Re(f)}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{\partial Re(f)}{\partial y} [/mm] = [mm] \frac{\partial Im(f)}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{\partial Im(f)}{\partial y}$,
[/mm]
d.h. die Gradienten von $Re(f)$ und $Im(f)$ verschwinden. Somit sind $Re(f)$ und $Im(f)$ konstant, also auch $f$ selbst.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
