kompl.exp-fkt.:kein Isomorph.? < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 So 05.06.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo,
kann mir vielleicht jemand weiterhelfen. Bei mir im Skript steht folgende Aussage:
"Die komplexe Exponentialfunktion exp: [mm] \IC \to \IC [/mm] \ {0} ist kein Isomorphismus, da [mm] \IC [/mm] \ {0} das Element -1 der Ordnung 2 enthält, während die additive Gruppe [mm] \IC [/mm] keine Elemente endlicher Ordnung hat."
Kann mir das vielleicht jemand erklären, was die Ordnung der Gruppenelemente eines Gruppenhomomorphismus damit zu tun hat, ob es sich um einen Isomorphismus handelt oder nicht. Wie ist da der Zusammenhang??
Ich habe versucht etwas darüber rauszufinden, bin aber leider nicht fündig geworden.
Gibt es vielleicht einen speziellen Satz darüber? Falls ja, kann mir jemand vielleicht sagen, wie dieser lautet bzw. wo ich ihn finden kann?? Würde mir super weiterhelfen.
Vielen Danke schon mal & lieben Gruß!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 So 05.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] f(z)=e^z
[/mm]
Nimm an, f sei einIsomorphismus
Ist [mm] z_0 [/mm] so, dass [mm] f(z_0)=-1 [/mm] ist,
so folgt:
[mm] f(2z_0)=f(z_0)^2=1
[/mm]
Wegen f(0)=1 und der Injektivität von f , folgt: [mm] z_0=0. [/mm] Dann ist aber
[mm] -1=f(z_0) [/mm] =1, Wid.
Die Begründung in Deinem Sklript ist mit Kanonen nach Spatzen geschossen, denn die komplexe Exp.-funktion ist nicht injektiv. Das reicht schon als Begründung.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 So 05.06.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo fred,
danke schon mal für deine Antwort.
Konnte ich gut nachvollziehen.
Es ist nur so, dass in meinem Skript, denke ich, diese Aussage über die Ordnungen eben dazu verwendet wird, um zu zeigen,
dass die komplexe Exponentialfunktion nicht injektiv ist. Diese Aussage steht übrigens innerhalb eines Beweises der zeigt, dass Kern(exp) = 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \IZ [/mm] gilt. Und da ich darüber eine Art Vortrag halten soll, würde ich schon sehr gerne wissen, was es mit dieser Aussage über Isomorphismen und Ordnungen auf sich hat?
Kann mir jemand weiterhelfen?
Lieben Gruß!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 So 05.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo fred,
>
> danke schon mal für deine Antwort.
> Konnte ich gut nachvollziehen.
>
> Es ist nur so, dass in meinem Skript, denke ich, diese
> Aussage über die Ordnungen eben dazu verwendet wird, um zu
> zeigen,
> dass die komplexe Exponentialfunktion nicht injektiv ist.
> Diese Aussage steht übrigens innerhalb eines Beweises der
> zeigt, dass Kern(exp) = 2 [mm]\pi[/mm] i [mm]\IZ[/mm] gilt. Und da ich
> darüber eine Art Vortrag halten soll, würde ich schon
> sehr gerne wissen, was es mit dieser Aussage über
> Isomorphismen und Ordnungen auf sich hat?
>
> Kann mir jemand weiterhelfen?
Fuer zwei Gruppen $G$ und $H$ gilt;
$G$ und $H$ sind isomorph [mm] $\Longrightarrow$ $\forall [/mm] n [mm] \in \IN \cup \{ \infty \} [/mm] :{}$ es gibt genausoviele Elemente der Ordnung $n$ in $G$, wie es Elemente der Ordnung $n$ in $H$ gibt.
Die Umkehrung dieser Implikation gilt uebrigens nicht, man kann auch schon bei endlichen nicht-abelschen Gruppen Gegenbeispiele finden. Jedoch kann man diese Aussage verwenden, dass zwei Gruppen nicht isomorph sind: findet man z.B. in der Gruppe $G = [mm] (\IC \setminus \{ 0 \}, \cdot)$ [/mm] ein Element der Ordnung 2, in der Gruppe $H = [mm] (\IC, [/mm] +)$ jedoch keins, dann koennen $G$ und $H$ nicht isomorph sein. Insbesondere ist der surjektive Gruppenhomomorphismus $H [mm] \to [/mm] G$, $x [mm] \mapsto \exp(x)$ [/mm] kein Isomorphismus, also nicht injektiv.
Dass [mm] $\ker \exp [/mm] = 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \IZ$ [/mm] ist folgt aus [mm] $\exp(x [/mm] + i y) = [mm] e^x (\cos [/mm] y + i [mm] \sin [/mm] y)$, den Eigenschaften der reellen Exponentialfunktion und den Eigenschaften von (den reellen Funktionen) [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 So 05.06.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo felix (und alle anderen)
Super, danke erstmal soweit.
Kann mir vielleicht jemand sagen, wo ich den Beweis dazu fínden kann, den Felix am Ende erwähnt hat. Würde mich mal interessieren. Denn ich glaube der Beweis aus meinem Skript ist ein anderer.
LG, Yonca!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 So 05.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Kann mir vielleicht jemand sagen, wo ich den Beweis dazu
> fínden kann, den Felix am Ende erwähnt hat. Würde mich
> mal interessieren. Denn ich glaube der Beweis aus meinem
> Skript ist ein anderer.
Meinst du den fuer [mm] $\ker \exp [/mm] = 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \IZ$?
[/mm]
Nun, es ist [mm] $|\cos [/mm] y + i [mm] \sin y|^2 [/mm] = [mm] \cos^2 [/mm] y + [mm] \sin^2 [/mm] y = 1$, womit [mm] $|\exp(x [/mm] + i y)| = [mm] e^x$ [/mm] ist. Da [mm] $\exp [/mm] : [mm] \IR \to \IR_{>0}$ [/mm] bijektiv ist, folgt aus [mm] $|\exp(x [/mm] + i y)| = 1$ also $x = 0$. Damit gilt [mm] $\ker \exp \subseteq [/mm] i [mm] \IR$.
[/mm]
Sei nun $z = i y [mm] \in [/mm] i [mm] \IR$ [/mm] mit $y [mm] \in \IR$. [/mm] Dann gilt [mm] $\exp(z) [/mm] = [mm] \cos [/mm] y + i [mm] \sin [/mm] y$, und das ist genau dann gleich 1, wenn [mm] $\cos [/mm] y = 1$ und [mm] $\sin [/mm] y = 0$ ist. Nun ist [mm] $\sin [/mm] y = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] y [mm] \in \pi \IZ$, [/mm] und [mm] $\cos(k \pi) [/mm] = [mm] (-1)^k$, [/mm] womit aus [mm] $\cos [/mm] y = 1 [mm] \wedge \sin [/mm] y = 0$ folgt $y [mm] \in [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \IZ$. [/mm] Umgekehrt folgt fuer $y [mm] \in [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \IZ$, [/mm] dass [mm] $\exp(y) [/mm] = 1$ ist.
Also gilt [mm] $\ker \exp [/mm] = 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \IZ$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:34 Do 09.06.2011 | | Autor: | yonca |
Danke erst mal &viele Grüße!
|
|
|
|
