kompl. zahl, werte berechnen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Toni908 |
| Aufgabe | gegeben ist [mm] z_{1}=4e^{i\bruch{5}{6}\pi} [/mm] und [mm] z_{2}=1-i
[/mm]
berechnen sie [mm] |z_{1}| ;|z_{2}| ;z_{1}+2z_{2}; z_{2}^{3};\wurzel{z_{1}} [/mm] |
hallo
als betrag von z2 hab ich [mm] \wurzel{2}
[/mm]
eine frage habe ich zu z1:
hier bringt mich die e funktion ein wenig durcheinander.
als betrag habe ich [mm] \wurzel{4² +(e^{\bruch{5}{6}\pi})²} [/mm] ist das so korrekt? ich glaube eher nicht. mit dem taschenrechner ausgerechnet ergibt sich für z1 dann [mm] z1=\wurzel{203,91}.
[/mm]
hier bin ich mir nicht sicher: [mm] z_{2}^{3}
[/mm]
ist da i=3? wäre dann 1-3=-2
2*z2= 2-2i
z1+2*z2:
[mm] =(4+2)+i(e^{\bruch{5}{6}\pi}-2)
[/mm]
[mm] =6+i(e^{\bruch{5}{6}\pi}-2)
[/mm]
[mm] \wurzel{z1}:
[/mm]
[mm] \wurzel{3i}=\wurzel{3}*\wurzel{i}
[/mm]
[mm] \wurzel{4}=2
[/mm]
hier komme ich nicht weiter.
[mm] \wurzel{e^{i\bruch{5}{6}\pi}}
[/mm]
Gruß Toni
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Hallo!
> gegeben ist [mm]z_{1}=4e^{i\bruch{5}{6}\pi}[/mm] und [mm]z_{2}=1-i[/mm]
>
> berechnen sie [mm]|z_{1}| ;|z_{2}| ;z_{1}+2z_{2}; z_{2}^{3};\wurzel{z_{1}}[/mm]
> hallo
>
> als betrag von z2 hab ich [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> eine frage habe ich zu z1:
>
> hier bringt mich die e funktion ein wenig durcheinander.
>
> als betrag habe ich [mm]\wurzel{4² +(e^{\bruch{5}{6}\pi})²}[/mm] ist
> das so korrekt? ich glaube eher nicht. mit dem
> taschenrechner ausgerechnet ergibt sich für z1 dann
> [mm]z1=\wurzel{203,91}.[/mm]
Hier scheint dir die Bedeutung des e-terms nicht ganz klar zu sein. Es gilt: [mm] e^{i\phi}=\cos(\phi)+i*\sin(\phi)
[/mm]
Ist der Exponent rein imaginär, beschreibt er den Winkel, den die Zahl in der imaginären Zahlenebene mit der positiven, reellen Achse bildet. Dieser e-term hat IMMER den Betrag 1. Und demnach ist die Lösung hier 4, denn ein realer Term vor dem e gibt dir direkt den Betrag an.
>
> hier bin ich mir nicht sicher: [mm]z_{2}^{3}[/mm]
>
> ist da i=3? wäre dann 1-3=-2
Auch hier solltest du dir nochmal die imag. Zahlenebene anschaun. Multipliziert werden imag. Zahlen, indem man ihre Beträge multipliziert, und ihre Winkel addiert. [mm] z_2 [/mm] hat den Betrag [mm] \wurzel{2} [/mm] , demnach hat [mm] z_2^3 [/mm] den Betrag [mm] \wurzel{2}^3 [/mm] . Der Winkel ist -45°, man kommt also insgesamt auf -135°. Demnach muß sowas [mm] z_2^3=a*(-1-i) [/mm] sein, wobei du das a noch so bestimmen mußt, daß der Betrag stimmt.
>
> 2*z2= 2-2i
>
> z1+2*z2:
> [mm]=(4+2)+i(e^{\bruch{5}{6}\pi}-2)[/mm]
> [mm]=6+i(e^{\bruch{5}{6}\pi}-2)[/mm]
Hier verstehe ich gar nicht, was du gemacht hast. Du mußt [mm] z_1 [/mm] wie oben angegeben mit SIN und COS ausdrücken, danach kannst du die rein imaginären und rein reellen Teile zusammenfassen.
>
> [mm]\wurzel{z1}:[/mm]
>
> [mm]\wurzel{3i}=\wurzel{3}*\wurzel{i}[/mm]
> [mm]\wurzel{4}=2[/mm]
> hier komme ich nicht weiter.
> [mm]\wurzel{e^{i\bruch{5}{6}\pi}}[/mm]
Auch hier mußt du mit Winkel und Betrag arbeiten. Ich habe ja oben schon erklärt, wie man Zahlen multipliziert. Daraus könntest du ableiten, wie man eine komplexe Zahl berechnet, die mit sich selbst multipliziert eine gegebene Zahl ergibt.
>
> Gruß Toni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Do 07.02.2008 | | Autor: | Toni908 |
Hallo,
danke für deine Antwort!
ist der betrag einer e-funktin immer 1? auch wenn im exponent kein i steht?
zur addition bzw multiplikation:
ich hab die kartesische darstellungsform verwendet, du meinst die trigonometrische form.
im script habe ich das gefunden:
z=x+i*y
Addition: z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)
Multiplikation: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + y1x2)
das hab ich dann auch gemacht.
bei der multiplikation von z2 hab ich dann das:
(1-i)*(1-i)*(1-i)=-2-2i
zur wurzel:
da habe ich noch diese formel gefunden:
[mm] \wurzel[n]{z}=\wurzel[n]{r}(cos\bruch{\phi+k*2\pi}{n}+isin\bruch{\phi+k*2\pi}{n})
[/mm]
n=1
k=0
[mm] r=|z|=\wurzel{x³+y²}....für [/mm] z1=4
[mm] tan\phi=\bruch{y}{x}=\bruch{e^{i\bruch{5}{6}\pi}}{4}=?
[/mm]
hier komme ich nicht weiter
Gruß Toni
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Hallo Toni,
> Hallo,
>
> danke für deine Antwort!
>
> ist der betrag einer e-funktin immer 1? auch wenn im
> exponent kein i steht?
Das i muss immer dabei sein.
[mm]e^{i \ \phi} = \cos \left ( \phi \right ) + i \ \sin \left ( \phi \right )[/mm]
>
> zur addition bzw multiplikation:
>
> ich hab die kartesische darstellungsform verwendet, du
> meinst die trigonometrische form.
>
> im script habe ich das gefunden:
> z=x+i*y
> Addition: z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)
> Multiplikation: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + y1x2)
>
> das hab ich dann auch gemacht.
>
> bei der multiplikation von z2 hab ich dann das:
> (1-i)*(1-i)*(1-i)=-2-2i
>
> zur wurzel:
>
> da habe ich noch diese formel gefunden:
>
> [mm]\wurzel[n]{z}=\wurzel[n]{r}(cos\bruch{\phi+k*2\pi}{n}+isin\bruch{\phi+k*2\pi}{n})[/mm]
>
> n=1
> k=0
> [mm]r=|z|=\wurzel{x³+y²}....für[/mm] z1=4
> [mm]tan\phi=\bruch{y}{x}=\bruch{e^{i\bruch{5}{6}\pi}}{4}=?[/mm]
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> hier komme ich nicht weiter
Beachte [mm]z= x+i\ y=r \cos\left ( \phi \right ) + i \ r \sin \left ( \phi \right )=r*e^{i \phi}[/mm]
Den Wert von [mm]\phi[/mm] kannste unmittelbar ablesen.
>
> Gruß Toni
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mo 11.02.2008 | | Autor: | Toni908 |
aha danke,
also [mm] \phi =5/6\pi=150°
[/mm]
bei der wurzel komme ich auf das ergebnis:
ich bin mir nicht sicher ib ich n und k richtig gewählt habe! n=1 und k=n-1=0 da ergibt sich dann in der formel
[mm] \wurzel[n]{z}=2(cos5/6\pi+isin5/6\pi)=2,05
[/mm]
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Hallo Toni,
> aha danke,
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> also [mm]\phi =5/6\pi=150°[/mm]
>
> bei der wurzel komme ich auf das ergebnis:
>
> ich bin mir nicht sicher ib ich n und k richtig gewählt
> habe! n=1 und k=n-1=0 da ergibt sich dann in der formel
>
> [mm]\wurzel[n]{z}=2(cos5/6\pi+isin5/6\pi)=2,05[/mm]
Gesucht ist doch [mm]{\wurzel_{z}}={\wurzel[2]{z}}=\wurzel{e^{i \bruch{5}{6}\pi}}[/mm]
Für die n-te Wurzel von [mm]z=\vmat{z}\ e ^{i \varphi}[/mm] erhält man demnach: [mm]z_{k}={\wurzel[n]{\vmat{z}}} \ {e^{i \ \varphi + i {\bruch{2 \ k \ \pi}{n}}}, k=0 \dots {n-1}[/mm]
Zur Ermittlung von [mm]\wurzel{z}[/mm] wählst Du hier n=2 und läßt k die Werte 0 und 1 annehmen.
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Mo 11.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Toni!
Wenn Du aus einer komplexen Zahl die (Quadrat-)Wurzel ziehst, musst Du auch dementsprechend genau zwei Lösungen erhalten. Bei der Quadratwurzel (= [mm] $\wurzel[\red{2}]{ \ ... \ }$ [/mm] ) musst Du $n \ = \ [mm] \red{2}$ [/mm] einsetzen und den Laufindex $k_$ die Werte $k \ = \ 0$ und $k \ = \ n-1 \ = \ 2-1 \ = \ 1$ annehmen lassen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 12.02.2008 | | Autor: | Toni908 |
ach ja, ich hatte einen Denkfehler. hab sozusagen die erste wurzel gezogen, was totaler quatsch ist.
also vielen Dank an euch!!
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