kompl. Aufgabe < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Leidi |
| Aufgabe | Gibt es eine Gerade h*, welche in der Ebene H liegt und durch den gemeinsamen Schnittpunkt aller Geraden h(a) geht, aber nicht zur Schar der Geraden h(a) gehört? Falls ja, gib die Geradenvorschrift für h* an.
h(a) : x = [mm] \vektor{2 \\8 \\ -5} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{a \\1 \\ 2}
[/mm]
H: 2y - z - 21 = 0 |
Die Musterlösung des Lehrers kommt zu dem Ergebnis, dass es keine solche Gerade h* gibt. Ich glaube aber, eine solche Gerade gefunden zu haben in
m: x = [mm] \vektor{2 \\ 8 \\ -2} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Bei den folgenden Zwischenergebnissen decken sich unsere Ergebniss noch:
S(2|8|-2) ist der Schnittpunkt aller Geraden aus h(a).
Für den Richtungsvektor von h* muss gelten [mm] \vektor{x \\ y \\ 2y}, [/mm] da er senkrecht zum Normalenvektor der Ebene H ist.
Da h* S enthält, kann man die Gerade wie folgt darstellen:
[mm] \vektor{2 \\ 8 \\ -2} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y \\ 2y}
[/mm]
Nun unterscheiden sich unsere Lösungen:
Der Lehrer vergleicht die beiden Geraden h* und h(a) und kommt zu dem Ergebnis, sie stimmen überein (also h* ist immer eine Gerade der Schar h(a)). Er begründet dies mit der beispielhaften Wahl von [mm] \lambda= \bruch{\mu}{y} [/mm] und x= y * a.
Mein Einwand:
Eine solche Wahl von x, also eine Abhängigkeit von x vom Scharparameter, wiederspricht doch dem Gedanken, dass die beiden Geraden(scharen) für ALLE x gleich sind.
Stellt man x = y * a nach a um (Fragestellung: "Gibt es für jede Gerade h* ein a, sodass h* und h(a) identisch sind?"), dann steht y im Nenner. Somit ist für y=0 kein a definiert (und man erhält beispielsweise meine oben genannte Gerade m).
Danke für's Lesen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hi, Leidi,
> Gibt es eine Gerade h*, welche in der Ebene H liegt und
> durch den gemeinsamen Schnittpunkt aller Geraden h(a) geht,
> aber nicht zur Schar der Geraden h(a) gehört? Falls ja,
> gib die Geradenvorschrift für h* an.
> h(a) : x = [mm]\vektor{2 \\
8 \\
-5}[/mm] + [mm]\mu[/mm] * [mm]\vektor{a \\
1 \\
2}[/mm]
>
> H: 2y - z - 21 = 0
> Die Musterlösung des Lehrers kommt zu dem Ergebnis, dass
> es keine solche Gerade h* gibt. Ich glaube aber, eine
> solche Gerade gefunden zu haben in
> m: x = [mm]\vektor{2 \\
8 \\
-2}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{1 \\
0 \\
0}[/mm]
Die 3. Koordinate des Aufpunktes muss wohl -5 sein!
> Bei den folgenden Zwischenergebnissen decken sich unsere
> Ergebniss noch:
> S(2|8|-2) ist der Schnittpunkt aller Geraden aus h(a).
wie oben!
> Für den Richtungsvektor von h* muss gelten [mm]\vektor{x \\
y \\
2y},[/mm]
> da er senkrecht zum Normalenvektor der Ebene H ist.
> Da h* S enthält, kann man die Gerade wie folgt
> darstellen:
> [mm]\vektor{2 \\
8 \\
-2}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{x \\
y \\
2y}[/mm]
Und nochmals!
> Nun unterscheiden sich unsere Lösungen:
> Der Lehrer vergleicht die beiden Geraden h* und h(a) und
> kommt zu dem Ergebnis, sie stimmen überein (also h* ist
> immer eine Gerade der Schar h(a)). Er begründet dies mit
> der beispielhaften Wahl von [mm]\lambda= \bruch{\mu}{y}[/mm] und x=
> y * a.
>
> Mein Einwand:
> Eine solche Wahl von x, also eine Abhängigkeit von x vom
> Scharparameter, wiederspricht doch dem Gedanken, dass die
> beiden Geraden(scharen) für ALLE x gleich sind.
> Stellt man x = y * a nach a um (Fragestellung: "Gibt es
> für jede Gerade h* ein a, sodass h* und h(a) identisch
> sind?"), dann steht y im Nenner. Somit ist für y=0 kein a
> definiert (und man erhält beispielsweise meine oben
> genannte Gerade m).
M.E. hast Du Recht: Die Gerade m gehört NICHT zur Geradenschar h(a)!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
|
