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| Aufgabe | Sei (Un) eine Folge offener Mengen in X, so dass gilt:
Un [mm] \subseteq [/mm] Un+1 für alle n [mm] \in \IN [/mm] und X = [mm] \bigcup_{n\in \IN }^{} [/mm] Un.
Zeigen Sie: Zu jeder kompakten Menge K [mm] \subseteq [/mm] X gibt es ein
no [mm] \in \IN [/mm] mit: K [mm] \subseteq \bigcap_{n\ge n0}^{}Un. [/mm] |
Hey,
ich würde diese Aufgabe gerne damit lösen, dass wir ja wissen, dass jede folge xk in K eine konvergente Teilfolge besitzt, die wiederum in K liegt... aber so richtig weiter komme ich damit nicht. Mir scheint es irgendwie an dem Verständnis von Durchschnitt und Vereinigung zu mangeln..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 So 12.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei (Un) eine Folge offener Mengen in X, so dass gilt:
>
> Un [mm]\subseteq[/mm] Un+1 für alle n [mm]\in \IN[/mm] und X = [mm]\bigcup_{n\in \IN }^{}[/mm]
> Un.
>
> Zeigen Sie: Zu jeder kompakten Menge K [mm]\subseteq[/mm] X gibt
> es ein
> no [mm]\in \IN[/mm] mit: K [mm]\subseteq \bigcap_{n\ge n0}^{}Un.[/mm]
>
> ich würde diese Aufgabe gerne damit lösen, dass wir ja
> wissen, dass jede folge xk in K eine konvergente Teilfolge
> besitzt, die wiederum in K liegt... aber so richtig weiter
> komme ich damit nicht. Mir scheint es irgendwie an dem
> Verständnis von Durchschnitt und Vereinigung zu mangeln..
Das brauchst du nicht (bzw. ist zu umstaendlich). Benutze das Ueberdeckungskriterium und [mm] $\bigcap_{n \ge n_0} U_n [/mm] = [mm] U_{n_0}$.
[/mm]
LG Felix
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danke dir, ich krieg es trotzdem irgendwie absolut nicht hin. Mir liegt die Kompaktheit einfach gar nicht, kanns mir jemand erklären?
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> danke dir, ich krieg es trotzdem irgendwie absolut nicht
> hin. Mir liegt die Kompaktheit einfach gar nicht, kanns mir
> jemand erklären?
Nun ja, kompakte mengen sind ja so definiert, dass man aus jeder offenen ueberdeckung einer solchen eine endliche teilueberdeckung auswaehlen kann. Deine [mm] U_n [/mm] ueberdecken den gesamten raum X und somit naetuerlich auch die menge K. K laesst sich also von einer endlichen anzahl der [mm] U_n [/mm] ueberdecken. Nun haben diese mengen auch noch die eigenschaft, dass sie "immer groesser" werden [mm] ($U_n\subset U_{n+1}$). [/mm] Du kannst also folgern, dass K schon in einer der [mm] $U_n$ [/mm] enthalten ist (welcher also?). Diese Menge kannst du ausserdem leicht als schnittmenge darstellen, wie in der aufgabe gewuenscht.
gruss
matthias
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Ja, K lässt sich ja dann von der Vereinigung der Uns überdecken und wenn die Uns immer größer werden, muss Kn schon aufjedenfall in dem größten Un enthalten sein oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Di 21.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> Ja, K lässt sich ja dann von der Vereinigung der Uns
> überdecken und wenn die Uns immer größer werden, muss Kn
> schon aufjedenfall in dem größten Un enthalten sein oder?
Genau. Ist [mm] $(U_{n_i})_{i=1}^N$ [/mm] eine endliche Teilüberdeckung von K so gilt, da alle [mm] U_{n_i} [/mm] in [mm] U_N [/mm] enthalten sind: [mm] $$K\subset\bigcup_{i=1}^NU_{n_i}\subset U_N$$ [/mm] Gruß, Robert
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Und daraus kannn ich nun einfach schließen, dass K in dem Durchschnitt ab einem bestimmten n0 enthalten ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Mi 22.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Wegen [mm] U_n \subseteq U_{n+1} [/mm] und K [mm] \subseteq U_N [/mm] gilt:
$K [mm] \subseteq U_N \subset U_{N+1} \subset [/mm] ......$
Also
$K [mm] \subseteq \bigcap_{i \ge N}^{}U_i$
[/mm]
FRED
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