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Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit Differentialformen und in dem Zusammenhang natürlich mit Differentialformen mit kompaktem Träger. An einer Stelle steht hier folgendes:
Wenn die Differentialform [mm] \omega [/mm] einen kompakten Träger hat, dann ist die Ableitung [mm] d\omega [/mm] beschränkt.
Warum gilt das? Bei "normalen Funktionen" gilt das ja erstmal nicht. z.B. ist ja [mm] \sin(x)/x [/mm] zwar differenzierbar im Nullpunkt, aber die Ableitung dort nicht beschränkt - selbst wenn ich mir einen kompakten Träger suche (der den Nullpunkt enthält). Was ist also der Unterschied zu den Differentialformen?
Schonmal vielen Dank für Erklärungen! 
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Hiho,
warum sollte die Ableitung von [mm] $\bruch{\sin(x)}{x}$ [/mm] in 0 nicht beschränkt sein? Es gilt doch:
[mm] $\lim_{x\to 0} \bruch{d}{dx}\bruch{\sin(x)}{x} [/mm] = 0$
Und damit offensichtlich in jeder Umgebung um 0 beschränkt.
Deine Argumentation gilt aber für [mm] $x\sin\left(\bruch{1}{x}\right)$, [/mm] das liegt aber daran, dass diese Funktion nicht stetig differenzierbar, sondern eben "nur" differenzierbar ist, d.h. die Ableitung selbst ist nicht stetig.
Da ich nicht weiß, wie das sonst bei Differenzialformen ist, lass ich das mal auf teilweise beantwortet
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Mi 05.09.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> ich beschäftige mich gerade mit Differentialformen und in
> dem Zusammenhang natürlich mit Differentialformen mit
> kompaktem Träger. An einer Stelle steht hier folgendes:
>
> Wenn die Differentialform [mm]\omega[/mm] einen kompakten Träger
> hat, dann ist die Ableitung [mm]d\omega[/mm] beschränkt.
>
> Warum gilt das? Bei "normalen Funktionen" gilt das ja
> erstmal nicht. z.B. ist ja [mm]\sin(x)/x[/mm] zwar differenzierbar
> im Nullpunkt, aber die Ableitung dort nicht beschränkt -
> selbst wenn ich mir einen kompakten Träger suche (der den
> Nullpunkt enthält). Was ist also der Unterschied zu den
> Differentialformen?
Dass dieses Argument falsch ist, hat Gono ja schon erklärt.
Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ist das nicht einfach die Tatsache, dass [mm]d\omega[/mm] stetig ist und damit das Bild des Trägers wieder kompakt ist?
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich beschäftige mich gerade mit Differentialformen und in
> dem Zusammenhang natürlich mit Differentialformen mit
> kompaktem Träger.
kannst Du uns Eure Definition (von Differentialform) mitteilen?
> An einer Stelle steht hier folgendes:
>
> Wenn die Differentialform [mm]\omega[/mm] einen kompakten Träger
> hat, dann ist die Ableitung [mm]d\omega[/mm] beschränkt.
Interessant sind dann auch die Quellenangaben: Ist das ein Buch? (Wenn
ja: Welches?) Ein Skript (falls Du das darfst: Ein Link dahin ist immer gut...)
> Warum gilt das? Bei "normalen Funktionen" gilt das ja
> erstmal nicht. z.B. ist ja [mm]\sin(x)/x[/mm] zwar differenzierbar
> im Nullpunkt, aber die Ableitung dort nicht beschränkt -
> selbst wenn ich mir einen kompakten Träger suche (der den
> Nullpunkt enthält). Was ist also der Unterschied zu den
> Differentialformen?
Rein spekulativ würde ich auch auf die Stetigekeit von [mm] $d\omega$ [/mm] tippen:
Eventuell wird sie gefordert oder sie folgt aus irgendwas... Aber dazu
brauchen wir Eure Definition (jedenfalls kenne ich mich da nicht so gut
aus, als dass ich ohne auskäme).
Gruß,
Marcel
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