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hallo
im weiteren sei (G,.) eine gruppe und x,y [mm] \in [/mm] G,
[mm] [x,y]:=xyx^{-1}y^{-1} [/mm] ist der kommutator zweier element
[A,B]:={[a,b],a aus A und b aus B}mit [mm] A,B\subset [/mm] G
es sollte sich nun zeigen lassen, das [G,G] ein normalteiler ijn G ist ,und G/[G,G] eine abelsche gruppe? wie beweist man das denn dann?
im Fall einer abelschen gruppe,ist das trivial.Sei nun G beliebig,C(G):= [G,G]:={[x,y],x,y aus G}.also ist C(G) eine vonden kommutator erzeugten gruppe.fuer normalteilereigenshaft muss man jetzt zeigen,dass fuer [mm] u=[a,b]\in [/mm] C(G),UND g aus G gilt:
[mm] gug^{-1}\in [/mm] C(G)
ich kann jetzt nicht mehr weiter,kann jemand mir helfen.danke im voraus.
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Hallo!
Zunächst mal solltest du wohl $C(G):= [mm] [G,G]:=\langle\{[x,y]:x,y\in G\}\rangle$ [/mm] schreiben, sonst ist das im Allgemeinen keine Untergruppe.
Zeige zunächst, dass $C(G)$ Normalteiler ist. Sei dazu [mm] $g\in [/mm] G$ und [mm] $u\in [/mm] C(G)$. Da es genügt, die Normalteilereigenschaft auf einem Erzeugendensystem zu zeigen, kann man annehmen, dass [mm] $u=aba^{-1}b^{-1}$ [/mm] mit [mm] $a,b\in [/mm] G$. Dann gilt:
[mm] $gug^{-1}=gaba^{-1}b^{-1}g^{-1}=gag^{-1}gbg^{-1}ga^{-1}g^{-1}gb^{-1}g^{-1}=(gag^{-1})(gbg^{-1})(gag^{-1})^{-1}(gbg^{-1})^{-1}\in [/mm] C(G)$.
Also ist [mm] $C(G)\unlhd [/mm] G$.
Es bleibt zu zeigen, dass $G/C(G)$ abelsch ist. Nimm dir dazu zwei Elemente aus $G/C(G)$, z.B. $aC(G),\ bC(G)$. Zu zeigen ist, dass $aC(G)bC(G)=bC(G)aC(G)$.
Benutze dazu, dass [mm] $aC(G)bC(G)a^{-1}C(G)b^{-1}C(G)=aba^{-1}b^{-1}C(G)$...
[/mm]
Gruß, banachella
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