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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 So 07.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] R = \{ \bruch{a}{b} \in \IQ | a,b, \in \IZ [/mm] und b ist ungerade [mm] \} [/mm]
Beweisen Sie, dass [mm] ( R, +, * ) [/mm] ein kommutativer Ring ist. Hierbei bezeichnen + und * die Addition und Multiplikation in [mm] \IQ. [/mm] Untersuchen Sie, ob [mm] ( R, +, * ) [/mm] ein Körper ist. |
So richtig weiss ich nicht, wie ich vorgehen soll (habe leider so meine Probleme bei Beweisen), hier mein Ansatz:
Da b ungerade ist, gibt es das neutrale Element 1 der Multiplikation.
Da a = 0 möglich, gibt es das neutrale Element 0 der Addition.
Beim inversen Element bin ich mir schon nicht mehr so sicher, da könnte sich [mm] \bruch{2}{3} [/mm] in [mm] \bruch{3}{2} [/mm] drehen, dann ist der Nenner nicht mehr ungerade.
Wie muss ich vorgehen ?
Danke, Susanne.
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Hallo Susanne,
das sind schonmal gute Ideen
> Sei [mm]R = \{ \bruch{a}{b} \in \IQ | a,b, \in \IZ[/mm] und b ist
> ungerade [mm]\}[/mm]
>
> Beweisen Sie, dass [mm]( R, +, * )[/mm] ein kommutativer Ring ist.
> Hierbei bezeichnen + und * die Addition und Multiplikation
> in [mm]\IQ.[/mm] Untersuchen Sie, ob [mm]( R, +, * )[/mm] ein Körper ist.
> So richtig weiss ich nicht, wie ich vorgehen soll (habe
> leider so meine Probleme bei Beweisen), hier mein Ansatz:
>
> Da b ungerade ist, gibt es das neutrale Element 1 der
> Multiplikation. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da a = 0 möglich, gibt es das neutrale Element 0 der
> Addition.
> Beim inversen Element bin ich mir schon nicht mehr so
> sicher, da könnte sich [mm]\bruch{2}{3}[/mm] in [mm]\bruch{3}{2}[/mm] drehen,
> dann ist der Nenner nicht mehr ungerade.
Was sagt dir das? Kann R dann ein Körper sein?
Die Antwort hast du ja selbst (implizit) geliefert: NEIN
Es gibt Elemente in R, die kein multiplikativ Inverses haben, nämlich alle mit geradem Zähler..
>
> Wie muss ich vorgehen ?
> Danke, Susanne.
>
Du musst alles nur noch formalisieren.
Zunächst musst du zeigen, dass (R,+) ne abelsche Gruppe ist.
Das sind so einige Dinge, die du zeigen musst - schaue ins Skript, wenn du's nicht auswendig weißt
Du hattest oben nur etwas zum neutralen Element gesagt.
Gib es explizit an, zeige, dass es aus R ist und dass es die Eigenschaft eines n.E. erfüllt
Zeige weiter, dass (1) R bzgl. [mm] \cdot{} [/mm] abgeschlossen ist, (2) die Existenz des neutralen Elementes in R bzgl. [mm] \cdot{}, [/mm] (3) die Kommutativität von [mm] \cdot{}
[/mm]
Und zu guter Letzt zeige, dass die Distributivgesetze gelten...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 So 07.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo schachuzipus,
vielen Dank für deine Hilfe !
> Zunächst musst du zeigen, dass (R,+) ne abelsche Gruppe
> ist.
> Das sind so einige Dinge, die du zeigen musst - schaue ins
> Skript, wenn du's nicht auswendig weißt
ok, hier mein Versuch:
Also, abelsche Gruppe bedeutet a+b = b+a:
[mm] \bruch{a}{b} + \bruch{a'}{b'} = \bruch{a'}{b'} + \bruch{a}{b} [/mm] ist erfüllt.
[mm] \bruch{a}{b} + \bruch{0}{b} = \bruch{a}{b} + 0 = \bruch{a}{b} [/mm] bedeutet neutrales Element der Addition
[mm] \bruch{a}{b} * \bruch{1}{1} = \bruch{a}{b} * 1 = \bruch{a}{b} [/mm] bedeutet neutrales Element der Multiplikation
..und für einen Ring muss noch das Distibutivgesetz gelten [mm] a*(b+c) = a*b +a*c [/mm]:
[mm] \bruch{a}{b} * (\bruch{a'}{b'} + \bruch{a''}{b''}) = \bruch{aa'}{bb'} + \bruch{aa''}{bb''} [/mm]
Da zwei ungerade Zahlen miteinander multipliziert wieder eine ungerade Zahl ergeben, ist diese Bedingung erfüllt.
..und kommutativer Ring bedeutet [mm] a*b = b*a [/mm]:
[mm] \bruch{a}{b} * \bruch{a'}{b'} = \bruch{a'}{b'} * \bruch{a}{b} [/mm] ist auch erfüllt.
Ist das so ok ?
Vielen Dank und lieben Gruss, Susanne.
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Hallo Susanne,
das ist zwar sehr salopp aufgeschrieben , aber ist ok
> Hallo schachuzipus,
> vielen Dank für deine Hilfe !
>
> > Zunächst musst du zeigen, dass (R,+) ne abelsche Gruppe
> > ist.
> > Das sind so einige Dinge, die du zeigen musst - schaue
> ins
> > Skript, wenn du's nicht auswendig weißt
>
> ok, hier mein Versuch:
>
> Also, abelsche Gruppe bedeutet a+b = b+a:
das ist bloß "abelsch", Gruppe ist der aufwendigere Teil 
> [mm]\bruch{a}{b} + \bruch{a'}{b'} = \bruch{a'}{b'} + \bruch{a}{b}[/mm]
> ist erfüllt.
> [mm]\bruch{a}{b} + \bruch{0}{b} = \bruch{a}{b} + 0 = \bruch{a}{b}[/mm]
> bedeutet neutrales Element der Addition
also n.E bzgl. + ist [mm] 0\in [/mm] R !! (wichtig!)
was ist mit der Abgeschlossenheit? Assoziativität bzgl. +? Was ist additiv Inverses zu [mm] \frac{a}{b}?
[/mm]
Ist es [mm] \in [/mm] R?
> [mm]\bruch{a}{b} * \bruch{1}{1} = \bruch{a}{b} * 1 = \bruch{a}{b}[/mm]
> bedeutet neutrales Element der Multiplikation
... ist [mm] 1\in [/mm] R !!!
Wieder fehlt die Abgeschlossenheit von R bzg. [mm] \cdot{}! [/mm] Was ist mit der Assoziativität bzgl. [mm] \cdot{}?
[/mm]
>
> ..und für einen Ring muss noch das Distibutivgesetz gelten
> [mm]a*(b+c) = a*b +a*c [/mm]:
> [mm]\bruch{a}{b} * (\bruch{a'}{b'} + \bruch{a''}{b''}) = \bruch{aa'}{bb'} + \bruch{aa''}{bb''}[/mm]
>
> Da zwei ungerade Zahlen miteinander multipliziert wieder
> eine ungerade Zahl ergeben, ist diese Bedingung erfüllt.
> ..und kommutativer Ring bedeutet [mm]a*b = b*a [/mm]:
> [mm]\bruch{a}{b} * \bruch{a'}{b'} = \bruch{a'}{b'} * \bruch{a}{b}[/mm]
> ist auch erfüllt.
>
> Ist das so ok ?
Für ne Übung, geschweige denn ne Klausur ist das m.E. definitiv zu wenig
Aber wenn du das schriftl. noch etwas ausarbeitest, ist das schon ok
> Vielen Dank und lieben Gruss, Susanne.
Gerne
Gruß zurück
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 So 07.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Schachuzipus,
nochmals danke für deine schnelle und ausführliche Hilfe !
> also n.E bzgl. + ist [mm]0\in[/mm] R !! (wichtig!)
Da [mm] 0 \in \IZ [/mm] im Zähler und eine ungerade Zahl im Nenner immer 0 ergibt, ist 0 ein gültiges neutrales Element.
> was ist mit der Abgeschlossenheit? Assoziativität bzgl. +?
Was bedeutet das ?
> Was ist additiv Inverses zu [mm]\frac{a}{b}?[/mm]
[mm] \frac{a}{b} + \frac{-a}{b} = 0 = neutrales Element [/mm]
Da [mm] -a \in \IZ [/mm] gibt es das neutrale Element mit [mm] \bruch{-a}{b} [/mm]
> ... ist [mm]1\in[/mm] R !!!
1 ist Element R, da [mm] \bruch{1}{1} \in R [/mm] ist
Muss ich das so ausformulieren ?
> Wieder fehlt die Abgeschlossenheit von R bzg. [mm]\cdot{}![/mm] Was
> ist mit der Assoziativität bzgl. [mm]\cdot{}?[/mm]
Da ist sie wieder, die Abgeschlossenheit ?
Nochmals vielen Dank und lieben Gruss, Susanne.
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Jo hi,
nun hast du fast alle beisammen
> Hallo Schachuzipus,
> nochmals danke für deine schnelle und ausführliche Hilfe !
>
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> > also n.E bzgl. + ist [mm]0\in[/mm] R !! (wichtig!)
> Da [mm]0 \in \IZ[/mm] im Zähler und eine ungerade Zahl im Nenner
> immer 0 ergibt, ist 0 ein gültiges neutrales Element.
>
> > was ist mit der Abgeschlossenheit? Assoziativität bzgl. +?
> Was bedeutet das ?
>
> > Was ist additiv Inverses zu [mm]\frac{a}{b}?[/mm]
> [mm] \frac{a}{b} [/mm] + [mm] \frac{-a}{b} [/mm] = 0 = neutrales Element
> Da [mm]-a \in \IZ[/mm] gibt es das neutrale Element mit
> [mm] \bruch{-a}{b} [/mm]
>
> > ... ist [mm]1\in[/mm] R !!!
> 1 ist Element R, da [mm]\bruch{1}{1} \in R[/mm] ist
> Muss ich das so ausformulieren ? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> > Wieder fehlt die Abgeschlossenheit von R bzg. [mm]\cdot{}![/mm] Was
> > ist mit der Assoziativität bzgl. [mm]\cdot{}?[/mm]
> Da ist sie wieder, die Abgeschlossenheit ?
>
> Nochmals vielen Dank und lieben Gruss, Susanne.
>
Abgeschlossenheit bgl. + und [mm] \cdot{} [/mm] heißt, dass du zeigen musst, dass mit zwei Elementen [mm] r_1,r_2\in [/mm] R auch [mm] r_1+r_2 [/mm] bzw. [mm] r_1\cdot{}r_2\in [/mm] R ist
Das ist wesentlich für eine Gruppe
Neutrales Element bzgl. + ist 0 [mm] \in [/mm] R
Neutrales Element bzgl. [mm] \cdot{} [/mm] ist [mm] 1\in [/mm] R
Invers zu [mm] \frac{a}{b} [/mm] bzgl. + ist [mm] \frac{-a}{b} [/mm]
Distributivgesetze hattest du schon.
Da ist doch fast alles beisammen Schön, schön
Fehlt noch ne Bemerkung zur Assoziativität bgl. + und [mm] \cdot{}
[/mm]
Zeige außerdem noch die Abgeschlossenheit bzgl. + und [mm] \cdot{} [/mm] und du hast es
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 So 07.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
DANKE für deine grosse Mühe !!!
LG, Susanne.
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