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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Mo 03.12.2007 | | Autor: | alpakas |
| Aufgabe | a) Es seien n,meN zwei natürliche Zahlen. Die Äquivalenzklasse von x modulo n mit [mm] [x]_n.
[/mm]
Gezeigt werden soll, dass R:=(Z/nZ) x (Z/mZ) mit den Verknüpfungen:
+: [mm] ([x]_n, [y]_m) [/mm] + [mm] ([x´]_n, [y´]_m) [/mm] = [mm] ([x+x´]_n, [y+y´]_m)
[/mm]
: [mm] ([x]_n, [y]_m) [/mm] * [mm] ([x´]_n, [y´]_m) [/mm] = [mm] ([xx´]_n, [yy´]_m)
[/mm]
ein kommutativer Ring mit 1 ist.
b) Nun seien m,n eN mit ggT (m,n)=1
1. Zeigen sie, dass dann gilt: [x]_nm= [y]_nm <--> [mm] ([x]_n= [y]_n [/mm] und
[x]m =[y]m)
2. Zeigen sie, dass
f: Z/nmZ --> (Z/nZ) x (Z/mZ) , [x]_mn --> [mm] ([x]_n, [x]_m) [/mm] ein Ringisomorphismus ist.
3. (Chinesischer Restsatz). Es seien a,b eZ. Zeigen sie, dass das folgende Kongruenzsystem in Z lösbar ist:
[mm] x\equiv [/mm] a mod n
[mm] x\equiv [/mm] b mod m
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Hallo!
ich bin noch ganz neu hier  und habe auch schon die erste Frage. Könnt ihr mir da vielleicht helfen? Sitze schon seit Stunden davor, belese mich durch all meine mathebücher und komme ienfach nicht weiter :(
also die Eigenschaften für a) von einem Ring mit 1 sind mir ja bekannt, aber wie ich es anwenden soll verstehe ich einfach nicht.
b)1 habe ich gar keine idee und bei 2 und 3 weiß ich was Ringisomorphismen sind und der Chinesischer Restsatz besagt, aber bei der Aufgabe hilft es mir einfach nicht weiter!!
liebe Grüße, Steffi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> a) Es seien n,meN zwei natürliche Zahlen. Die
> Äquivalenzklasse von x modulo n mit [mm][x]_n.[/mm]
> Gezeigt werden soll, dass R:=(Z/nZ) x (Z/mZ) mit den
> Verknüpfungen:
>
> +: [mm] ([x]_n, [y]_m) [/mm] + ([x´ [mm] ]_n, [/mm] [y´ [mm] ]_m) [/mm] = ([x+x´ [mm] ]_n, [/mm] [y+y´ [mm] ]_m)
[/mm]
>
> : [mm] ([x]_n, [y]_m) [/mm] * ([x´ [mm] ]_n, [/mm] [y´ [mm] ]_m)= [/mm] ([xx´ [mm] ]_n, [/mm] [yy´ [mm] ]_m)
[/mm]
>
> ein kommutativer Ring mit 1 ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
>
> also die Eigenschaften für a) von einem Ring mit 1 sind mir
> ja bekannt, aber wie ich es anwenden soll verstehe ich
> einfach nicht.
Zunächst einmal glaube ich, daß Du die Veknüpfungen
Schade, daß Du nicht zumindest ein paar Ringeigenschaften hier aufgeschrieben hast.
Nun gut. Sicher ist so etwas dabei:
Für alle a,b,c [mm] \in \R [/mm] gilt (a+b)+c=a+(b+c),
und nun fragst Du Dich, wie Du das auf Deine Aufgabe übertragen sollst.
"Übersetzen" wie es mal:
"Für alle a,b,c [mm] \in \R" [/mm] bedeutet: für drei beliebige Elemente aus der gerade betrachteten Menge.
Aha. Nimm Dir drei beliebige Elemente aus der betrachteten Menge.
Wie sieht Deine Menge aus?
Sie besteht aus Paaren, welche in der ersten Komponente Restklassen modulo n enthalten und in der zweiten solche modulo m.
Davon nimm Dir jetzt drei her:
Seien [mm] ([x]_n, [y]_m), ([a]_n, [b]_m) [/mm] , [mm] ([r]_n, [s]_m) \in [/mm] R.
Es ist ( [mm] ([x]_n, [y]_m)+ ([a]_n, [b]_m) [/mm] )+ [mm] ([r]_n, [s]_m)= [/mm] ...
und
[mm] ([x]_n, [y]_m)+(([a]_n, [b]_m) [/mm] + [mm] ([r]_n, [s]_m))= [/mm] ...
Rechne beides aus, vergleiche es, und wenn dassselbe herauskommt, hast Du die Assoziativtät gezeigt.
Ich denke, daß Du nun versuchen solltest, allein weiterzuarbeiten, wenn weitere Fragen auftauchen, kannst Du natürlich nachfragen.
Gruß v. Angela
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