matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenKombinatorikkomb. beweis
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Kombinatorik" - komb. beweis
komb. beweis < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Kombinatorik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

komb. beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:31 Sa 03.11.2007
Autor: AriR

Aufgabe
zeigen sie:

[mm] \summe_{k=0}^n\vektor{n \\ k}^2=\vektor{2n \\ n} [/mm]

hey leute

ich schaffe es irgendwie nicht die summe aufzulösen.

ich komme, wenn ich mit der linken seite anfange, höchstens auf

[mm] \summe_{k=0}^n\bruch{n^2*(n-1)^2*...*(n-k+1)^2}{k!} [/mm]


wenn ich mit der rechten seite anfange höchstens auf:

[mm] \bruch{(n+n)*(n + n-1)*...*(n+1)}{n!} [/mm]


weiß einer von euch mit welchem der ansätze ich vllt weitermachen kann oder wie man das überhaupt zeigen kann?

danke und gruß ;)

        
Bezug
komb. beweis: Tipp
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:49 Sa 03.11.2007
Autor: TottiIII

Hallo
du sollst da denke ich nichts auflösen.
Du sollst "einfach" mit kombinatorischen Mitteln argumentieren und so zeigen dass die Formel gilt.
Ich bin aber im Moment auch noch nicht schlauer als du ;-).

Bezug
                
Bezug
komb. beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:53 Sa 03.11.2007
Autor: max3000

Das ganze riecht mir nach vollständiger Induktion über n.

Bezug
        
Bezug
komb. beweis: Rein kombinatorischer Beweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Sa 03.11.2007
Autor: Somebody


> zeigen sie:
>  
> [mm]\summe_{k=0}^n\vektor{n \\ k}^2=\vektor{2n \\ n}[/mm]
>  hey
> leute
>  
> ich schaffe es irgendwie nicht die summe aufzulösen.
>  
> ich komme, wenn ich mit der linken seite anfange, höchstens
> auf
>  
> [mm]\summe_{k=0}^n\bruch{n^2*(n-1)^2*...*(n-k+1)^2}{k!}[/mm]
>  
>
> wenn ich mit der rechten seite anfange höchstens auf:
>  
> [mm]\bruch{(n+n)*(n + n-1)*...*(n+1)}{n!}[/mm]
>  
>
> weiß einer von euch mit welchem der ansätze ich vllt
> weitermachen kann oder wie man das überhaupt zeigen kann?
>  
> danke und gruß ;)

Für einen rein kombinatorischen Beweis benutze folgende Überlegung: Zähle die Anzahl Möglichkeiten, aus einer $2n$-elementigen Menge $M$ eine $n$-elementige Teilmenge auszuwählen, auf zwei Arten.
Die übliche Art der Zählung wäre zu sagen, dass es [mm] $\binom{2n}{n}$ [/mm] Möglichkeiten gibt (dies ist gerade die rechte Seite der zu beweisenden Gleichung).

Nun kann man aber diese $2n$-elementige Menge auch in zwei gleichgrosse (also je $n$-elementige) Mengen, sagen wir [mm] $M_1$ [/mm] und [mm] $M_2$ [/mm] disjunkt zerlegen: [mm] $M=M_1\cup M_2$. [/mm] Sei $k$ die Anzahl derjenigen Elemente, die bei einer konkreten Auswahl von insgesamt $n$ Elementen aus [mm] $M_1\cup M_2$ [/mm] aus der Menge [mm] $M_1$ [/mm] gewählt werden. Dann müssen, um insgesamt $n$ Elemente auszuwählen, aus [mm] $M_2$ [/mm] genau $n-k$ Elemente ausgewählt werden. Die Gesamtzahl der Möglicheiten, aus der $2n$-elementigen Menge $M$ genau $n$ Elemente auszuwählen, erhält man, indem man $k$ von $0$ bis $n$ laufen lässt und aufsummiert: dies ergibt, unter Verwendung von [mm] $\binom{n}{k}^2=\binom{n}{k}\cdot\binom{n}{n-k}$, [/mm] die linke Seite der zu beweisenden Gleichung.


Bezug
                
Bezug
komb. beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:18 Sa 03.11.2007
Autor: luis52

Hallo Somebody,

dein Beweis ist zucker!

lg Luis


PS: Deine Idee kann auch fuer den Beweis der folgenden
Verallgemeinerung angewandt werden:

[mm] $\sum_{k=0}^n{n\choose k}{m-n\choose n-k}={m\choose k}$.[/mm]

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Kombinatorik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]