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| Aufgabe 1 | drei punkte A, B, C liegen auf einer gemeinsamen geraden, wenn die Vektoren AB und AC linear abhängig, also kollinear sind
überprüfe ob die folgenden punkte auf einer geraden liegen...
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| Aufgabe 2 | vier punkte A, B, C, D liegen auf einer gemeinsamen ebene, wenn die vektoren AB, AC, AD linear abhängig, also kollinear sind
überprüfe, ob die folgenden punkte auf einer ebene liegen... |
Hallo zusammen,
ich habe probleme mit den begriffen kollinear und komplanar.
deshalb weiß ich nicht wie ich die beiden obrigen aufgaben lösen soll
ich hoffe es kann mir jemand helfen
schöne grüße
kerstin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 So 07.05.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo Kerstin.
In der Aufgabe steht etwas von 'folgenden Punkten'. Evtl. editierst du deine Frage noch einmal und fügst sie da ein.
Ansonsten kann ich zu den Begrifflichkeiten von Wikipedia zitieren:
kollinear:
# Drei oder mehr Punkte, die auf einer Geraden liegen, heißen kollinear.
# Zwei Vektoren heißen kollinear, wenn sie linear abhängig sind.
komplanar:
Drei Vektoren gelten als komplanar, wenn sie in derselben Ebene liegen. Einer der drei Vektoren lässt sich also als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen, komplanare Vektoren sind linear abhängig.
Du musst also ein paar Vektoren bilden und gucken, ob diese linear Abhängig sind. Das kannst du mit einem Gleichungssystem machen.
LG
Disap
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erstmal ein großes dankeschön
zu der ersten Aufgabe die Punkte sind A(-4/-5/2), B(1/2/3), C(51/72/13)
und zu der zweiten A(1/2/-1), B(4/5/-3), C(-2/0/7), D(3/1/2)
ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand einen Ansatz zeigen könnte.
stehe momentan irgendwie etwas auf den "Schlauch" denn eine lineare Abhängikeit überpfrüfen kann ich (eigentlich).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 So 07.05.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo Kerstin.
> drei punkte A, B, C liegen auf einer gemeinsamen geraden,
> wenn die Vektoren AB und AC linear abhängig, also kollinear
> sind
> überprüfe ob die folgenden punkte auf einer geraden
> liegen...
Angenommen die Punkte lauten
A(1|1|1)
B(0|2|0)
C(3|3|3)
Wenn nun Vektor AB linear abhängig ist zum Vektor AC, dann liegen die drei Punkte auf einer Geraden:
[mm] \overline{AB}=\vektor{0-1\\ 2-1\\ 0-1}= \vektor{-1\\ 1\\ -1}
[/mm]
[mm] \overline{AC}=\vektor{3-1\\ 3-1\\ 3-1}= \vektor{2\\ 2\\ 2}
[/mm]
Glücklicherweise sieht man sofort, dass die linear unabhängig sind, allerdings muss man das auch rechnerisch zeigen, indem man ein Gleichungssystem aufstellt:
[mm] \vektor{-1\\ 1\\ -1} [/mm] = [mm] t*\vektor{2\\ 2\\ 2}
[/mm]
Es ergeben sich die Gleichungen
I $- 1 =2t |:2 [mm] \Rightarrow [/mm] t=-0.5$
II $ 1 = 2t [mm] \Rightarrow [/mm] t=+0.5$
III $-1 = 2t [mm] \Rightarrow [/mm] t=-0.5$
Das Ergebnis der Gleichung II widerspricht den Ergebnissen aus I und III, daher liegen die Punkte nicht auf einer Geraden.
Du kannst allerdings auch die Punktprobe machen, indem du aus A und B eine Gerade bildest und den Punkt C einsetzt. Du erhälst wieder ein Gleichungssystem -> wenn sich das lösen lässt, liegt der Punkt auf der Geraden, wenn nicht, dann eben nicht.
>
> vier punkte A, B, C, D liegen auf einer gemeinsamen ebene,
> wenn die vektoren AB, AC, AD linear abhängig, also
> kollinear sind
> überprüfe, ob die folgenden punkte auf einer ebene
> liegen...
Hier ist es das selbe Schema. Haben wir beispielsweise die Punkte
A(1|1|1) B(3|2|1), C(-1|-1|-1) und D(1|0|1) . Dann entweder Parametergleichung der Ebene aufstellen und die Punktprobe machen, oder die drei Vektoren AB, AC, AD bilden und auf lineare abhängigkeit prüfen.
Hierbei muss folgende lineare Abhängigkeit vorliegen:
AB linear abhängig zu AC
AB linear abhängig zu AD
AC linear abhängig zu AD
Unsere Vektoren lauten allerdings
[mm] \overline{AB} [/mm] = [mm] \vektor {2\\1 \\0} [/mm]
[mm] \overline{AC} [/mm] = [mm] \vektor {-2\\-2 \\-2} [/mm]
[mm] \overline{AD} [/mm] = [mm] \vektor {0\\-1 \\0} [/mm]
Und diese Vektoren sind linear unabhängig, somit liegen die Punkte nicht in einer Ebene.
> ich habe probleme mit den begriffen kollinear und
> komplanar.
Die Begrifflichkeiten sollten ausreichend durch Wikipedia (siehe meine Mitteilung) erklärt worden sein. Ansonsten: frag ruhig
> deshalb weiß ich nicht wie ich die beiden obrigen aufgaben
> lösen soll
>
> ich hoffe es kann mir jemand helfen
Hoffe ich auch...
> schöne grüße
> kerstin
Dito
Disap
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 So 07.05.2006 | | Autor: | Disap |
Sers.
> drei punkte A, B, C liegen auf einer gemeinsamen geraden,
> wenn die Vektoren AB und AC linear abhängig, also kollinear
> sind
> überprüfe ob die folgenden punkte auf einer geraden
> liegen...
>A(-4/-5/2), B(1/2/3), C(51/72/13)
Bilden wir zunächst einmal den Vektor AB und AC
[mm] \overline{AB} [/mm] = [mm] \vektor{1-(-4)\\2-(-5) \\3-2}=\vektor{5\\7 \\1}
[/mm]
[mm] \overline{AC} [/mm] = [mm] \vektor{51-(-4)\\72-(-5) \\13-2}= \vektor{55\\77\\11}
[/mm]
Prüfen auf lineare Abhängigkeit:
[mm] $\overline{AB} [/mm] = t [mm] *\overline{AC} [/mm] $
Es ergeben sich die Gleichungen
I $5 = 55t |:55 [mm] \Rightarrow t=\frac{1}{11} [/mm] $
II $7 = 77t |:77 [mm] \Rightarrow t=\frac{1}{11} [/mm] $
III $1 = 11t$
Setzen wir t mal in Gleichung drei ein (das darf man machen, ansonsten hättest du Gleichung drei auch noch nach t auflösen dürfen... Oder es hätte auch gereicht, Gleichung eins nach t umzustellen und in II und III einzusetzen)
$1 = 11t$ mit [mm] t=\frac{1}{11} [/mm]
$1 = [mm] 11*\frac{1}{11} [/mm] $
$1 = 1$
Das ist eine wahre Aussage, somit liegen die drei Punkte auf der selben Geraden.
> vier punkte A, B, C, D liegen auf einer gemeinsamen ebene,
> wenn die vektoren AB, AC, AD linear abhängig, also
> kollinear sind
> überprüfe, ob die folgenden punkte auf einer ebene
> liegen...
> A(1/2/-1), B(4/5/-3), C(-2/0/7), D(3/1/2)
Glaubst du, dass du das alleine schaffst?
LG
Disap
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