kleinsten Abstand < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Do 30.05.2019 | | Autor: | Luisasa |
| Aufgabe | Es sei $E [mm] :=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} | x^{2}-y^{2} \leq 1, z=1\right\}$
[/mm]
Wir betrachten nun die Menge [mm] $F=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} | x^{2}-y^{2}=1, z=1\right\},$ [/mm] also eine
Teilmenge von $E .$ Finden Sie alle Punkte aus $F,$ welche den kleinsten Abstand zum
Punkt $(0,1,2)$ haben. |
Guten Abend.
Ich benötige hier etwas Unterstützung, denn es möchte mir nicht gelingen einen sinnvollen Wert herauszubekommen.
Ich fange einmal an.
Der Abstand zum gegebenen Punkt ist
$$| [mm] \vec{x}-\left( \begin{array}{c}{0} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right)|=| \left( \begin{array}{c}{x-0} \\ {y-1} \\ {z-2}\end{array}\right) |=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-1)^{2}+(z-2)^{2}}$$
[/mm]
Dieser Ausdruck ist genau dann ein Extremum, wenn $$f(x, y, z) [mm] :=(x-0)^{2}+(y-1)^{2}+(z-2)^{2}$$
[/mm]
ein Extremum ist (da die Wurzelfunktion streng monoton wachsend ist).Wir können daher
f statt der ursprünglichen Abstandsfunktion minimieren. Mit der Nebenbedingung
$$g(x, y, 1) [mm] :=x^{2}+y^{2}-1=0$$
[/mm]
ergibt sich aus dem Ansatz für Extrema mit Nebenbedingung
[mm] $$\quad \operatorname{grad}_{(x, y, z)} f=\lambda \operatorname{grad}_{(x, y, z)} [/mm] g$$
dann das Gleichungssystem
[mm] $$\operatorname{grad}(f-\lambda g)=\left( \begin{array}{c}{2(x-0)-\lambda 2 x} \\ {2(y-1)-\lambda 2 y} \\ {2(z-2)-\lambda 2 z}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{l}{0} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right)$$
[/mm]
Könnte das bis hierhin stimmen? Ich habe irgendwie das Gefühl, dass ich mich total verrenne.
Grüße
Luisa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> Der Abstand zum gegebenen Punkt ist
> [mm]| \vec{x}-\left( \begin{array}{c}{0} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right)|=| \left( \begin{array}{c}{x-0} \\ {y-1} \\ {z-2}\end{array}\right) |=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-1)^{2}+(z-2)^{2}}[/mm]
Bis hierhin ok.
> Dieser Ausdruck ist genau dann ein Extremum, wenn [mm]f(x, y, z) :=(x-0)^{2}+(y-1)^{2}+(z-2)^{2}[/mm]
> ein Extremum ist (da die Wurzelfunktion streng monoton wachsend ist).
> Wir können daher f statt der ursprünglichen Abstandsfunktion minimieren.
Das stimmt.
> Mit der Nebenbedingung
>
> [mm]g(x, y, 1) :=x^{2}+y^{2}-1=0[/mm]
Und das ist falsch, warum sollte das die NB sein?
Es geht viel einfacher:
Wir haben als Abstand f zu minimieren, wobei [mm] $\vec{x} \in [/mm] F$, d.h. aber nix anderes, als das $z=1$ und [mm] $x^2 [/mm] = [mm] y^2 [/mm] + 1$ gilt, d.h. wir haben:
[mm] $f|_F(x,y,z) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] (y-1)^2 [/mm] + [mm] (z-2)^2 [/mm] = [mm] (y^2 [/mm] + 1) + (y - [mm] 1)^2 [/mm] + 1 = [mm] 2\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 [/mm] + [mm] \frac{5}{2}$
[/mm]
Na und das ist nun minimal für?
Was ergibt sich also für (x,y,z) für Lösungen?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Do 30.05.2019 | | Autor: | Luisasa |
Guten Abend Gono.
Da habe ich mich wohl ein bisschen verschrieben mit Latex.
> Und das ist falsch, warum sollte das die NB sein?
> Es geht viel einfacher:
> Wir haben als Abstand f zu minimieren, wobei $ [mm] \vec{x} \in [/mm] F $, d.h. aber nix anderes, als das $ z=1 $ und $ > [mm] x^2 [/mm] = [mm] y^2 [/mm] + 1 $ gilt, d.h. wir haben:
> $ [mm] f|_F(x,y,z) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] (y-1)^2 [/mm] + [mm] (z-2)^2 [/mm] = [mm] (y^2 [/mm] + 1) + (y - [mm] 1)^2 [/mm] + 1 = [mm] 2\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 [/mm] + [mm] \frac{5}{2} [/mm] $
> Na und das ist nun minimal für?
> Was ergibt sich also für (x,y,z) für Lösungen?
Ok, ich weiß was du rechnerisch getan hast, der Grund entschließt sich mir allerdings genauso wenig wie, auf was du nun hinaus willst. Soll $ [mm] f|_F(x,y,z) [/mm] = [mm] 2\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 [/mm] + [mm] \frac{5}{2} [/mm] $ die Nebenbedingung sei.
Und was bedeutet [mm] $f|_F(x,y,z)$, [/mm] diese Notation ist mir jetzt neu.
Ich glaube nun nicht, dass du möchtest, dass ich $ [mm] f|_F(x,y,z) [/mm] = [mm] 2\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 [/mm] + [mm] \frac{5}{2} [/mm] $ ausrechne, denn dort kommen keine reellen Werte bei raus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:35 Fr 31.05.2019 | | Autor: | fred97 |
> Guten Abend Gono.
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> Da habe ich mich wohl ein bisschen verschrieben mit Latex.
>
>
>
> > Und das ist falsch, warum sollte das die NB sein?
>
> > Es geht viel einfacher:
> > Wir haben als Abstand f zu minimieren, wobei [mm]\vec{x} \in F [/mm],
> d.h. aber nix anderes, als das [mm]z=1[/mm] und [mm]> x^2 = y^2 + 1[/mm]
> gilt, d.h. wir haben:
>
> > [mm]f|_F(x,y,z) = x^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2 = (y^2 + 1) + (y - 1)^2 + 1 = 2\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{5}{2}[/mm]
>
> > Na und das ist nun minimal für?
> > Was ergibt sich also für (x,y,z) für Lösungen?
>
>
> Ok, ich weiß was du rechnerisch getan hast, der Grund
> entschließt sich mir allerdings genauso wenig wie, auf was
> du nun hinaus willst.
Zu minimieren ist doch die Funktion
(*) $ f(x, y, z) [mm] =x^2+(y-1)^{2}+(z-2)^{2} [/mm] $
unter den Voraussetzungen [mm] x^2+y^2=1 [/mm] und z=1. Setzt man z=1 und [mm] x^2= 1-y^2 [/mm] in (*) ein, so erhält man eine Funktion , die nur noch von y abhängt:
[mm] g(y)=2\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 [/mm] + [mm] \frac{5}{2}.
[/mm]
Dadurch hat Gono aus obiger Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen eine Exremwertaufgabe ohne Nebenbedingungen gemacht: zu minimieren ist als die Funktion g. Finde also [mm] y_0 [/mm] so, dass
[mm] g(y_0) \le [/mm] g(y) für alle y ist.
Mit diesem [mm] y_0 [/mm] bestimmst Du dann mit Hilfe der Nebenbedingungen [mm] x_0 [/mm] und [mm] z_0 [/mm] , so dass [mm] (x_0,y_0,z_0) [/mm] Lösung des ursprünglichen Minimierungsproblems ist.
Beachte: es gibt nicht nur einen solchen Punkt [mm] (x_0,y_0,z_0) [/mm] !
> Soll [mm]f|_F(x,y,z) = 2\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{5}{2}[/mm]
> die Nebenbedingung sei.
Nein. Ich habs Dir oben erklärt.
>
> Und was bedeutet [mm]f|_F(x,y,z)[/mm], diese Notation ist mir jetzt
> neu.
[mm] f_{|F} [/mm] bedeutet die Einschränkung von f auf die Menge F..
Noch zwei Bemerkungen:
1. Du musst die Aufgabe nicht so lösen, wie Gono das vorgeschlagen hat. Du kannst auch den Weg über Lagrange gehen. Gonos Weg ist allerdings kürzer und einfacher.
2. In der Aufgabenstellung lautet die eine Nebenbedingung [mm] x^2-y^2=1. [/mm] Daraus wurde dann [mm] x^2+y^2=1. [/mm] Was trifft nun zu und was ist ein Verschreiber ?
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> Ich glaube nun nicht, dass du möchtest, dass ich
> [mm]f|_F(x,y,z) = 2\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{5}{2}[/mm]
> ausrechne, denn dort kommen keine reellen Werte bei raus.
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