kleinste transfinite Ordinalza < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kann ich die kleinste transfinite Ordinalzahl [mm] \omega [/mm] einfach als die Menge von [mm] \IN \cup [/mm] {0} auffassen, sprich schreiben [mm] \omega [/mm] = [mm] \{ \IN \cup \{0\}\} [/mm]
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Kannst du bitte definieren, was eine transfinite Ordinalzahl ist, ich kenne den Begriff nicht. Jedenfalls ist [mm] $\{\IN\cup\{0\}\}$ [/mm] sicherlich keine Ordinalzahl, da es sich um eine einelementige Menge handelt und [mm] $\{\emptyset\}$ [/mm] die einzige einelementige Ordinalzahl ist. Im übrigen ist [mm] $\IN\cup\{0\}=\IN$, [/mm] du meinst also vermutlich an mehreren Stellen etwas anderes, als du schreibst.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Aufgabe | | So far we have mentioned only finite ordinals, which are the natural numbers. But there are infinite ones as well: the smallest infinite ordinal is ω, which is the order type of the natural numbers (finite ordinals) and that can even be identified with the set of natural numbers (indeed, the set of natural numbers is well-ordered—as is any set of ordinals—and since it is downward closed it can be identified with the ordinal associated with it, which is exactly how we define ω). - englische Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number) |
so also für mich ist [mm] \IN [/mm] die Menge der positiven ganzen Zahlen. Der Wikipediaeintrag behauptet ja, dass [mm] \omega [/mm] mit den natürlichen Zahlen(inklusive 0) identifiziert werden kann. Wie sollte ich diesen Zusammenhang verstehen für mich ergibt sich daraus, dass ich [mm] \omega [/mm] als die Menge der natürlichen Zahlen mit der 0 inklusiver Wohlordnung auffassen kann. Siehe auch hier http://de.wikipedia.org/wiki/Ordinalzahl unter "Die natürlichen Zahlen als geordnete Mengen" im vorletzten Satz. Stimmt dieser Zusammenhang oder verstehe ich das falsch? und wie stelle ich mir dann ein r [mm] \in \omega [/mm] vor?
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Ordinalzahlen sind ja spezielle wohlgeordnete Mengen. (Tatsächlich ist jede wohlgeordnete Menge zu genau einer Ordinalzahl isomorph, aber das braucht man hier nicht.) Es wird einfach nur gesagt, dass die kleinste unendliche Ordinalzahl [mm] $\omega$ [/mm] (ordnungs)isomorph zu der geordneten Menge der natürlichen Zahlen ist, also [mm] $\omega\cong(\IN,\le)$. [/mm] Je nachdem, als welche Menge man [mm] $\IN$ [/mm] definiert hat, gilt sogar Gleichheit, aber das ist irrelevant. Beantwortet das deine Frage?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Für ein x [mm] \in \omega [/mm] kann ich also genau so rechnen wie mit einem x [mm] \in \IN_{0}?
[/mm]
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Was heißt denn rechnen? Es ist [mm] $\omega=\{d_0,x_1,x_2,x_3,\dots\}$ [/mm] und es gilt [mm] $x_0\le x_1\le x_2\le x_3\le\dots$, [/mm] wie in den natürlichen Zahlen, wenn du das meinst.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Sa 30.05.2015 | | Autor: | MeineKekse |
ja sorry da habe ich mich schlecht ausgedrückt, genau darum ging es mir danke sehr :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Sa 30.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
(Mit [mm] $\IN_0$ [/mm] bezeichne ich weiterhin die aus der Grundschule bekannten natürlichen Zahlen einschließlich der 0.)
> Für ein x [mm]\in \omega[/mm] kann ich also genau so rechnen wie
> mit einem x [mm]\in \IN_{0}?[/mm]
Jedes [mm] $x\in\IN_0$ [/mm] entspricht einem [mm] $x\in\omega$, [/mm] aber im Allgemeinen hat nicht jedes [mm] $x\in\omega$ [/mm] eine Entsprechung in [mm] $\IN_0$.
[/mm]
Aber viele Eigenschaften, die für [mm] $\IN_0$ [/mm] (mit den aus der Grundschule bekannten Relationen und Operationen [mm] $\le$, [/mm] $+$, $*$) gelten, lassen sich entsprechend für [mm] $\omega$ [/mm] (mit den ordinalen Relationen und Operationen [mm] $\le$, [/mm] $+$ und $*$) beweisen.
Vielleicht könnte man sogar Folgendes behaupten: "Fast" alles, was wir derzeit über [mm] $\IN_0$ [/mm] wissen, gilt (mit analogem Beweis) auch für [mm] $\omega$.
[/mm]
Uns fehlen einfach geeignete Methoden, Dinge über [mm] $\IN_0$ [/mm] herauszufinden, die für [mm] $\omega$ [/mm] nicht notwendigerweise gelten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Sa 30.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
> Es
> wird einfach nur gesagt, dass die kleinste unendliche
> Ordinalzahl [mm]\omega[/mm] (ordnungs)isomorph zu der geordneten
> Menge der natürlichen Zahlen ist, also
> [mm]\omega\cong(\IN,\le)[/mm].
Genau dies stimmt im Allgemeinen nicht, wenn man mit [mm] $\IN$ [/mm] die gewöhnlichen natürlichen Zahlen aus der Grundschule meint.
(Für geeignete mengentheoretische Variationen [mm] $\IN$ [/mm] von [mm] $\omega$ [/mm] stimmt es hingegen natürlich.)
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Sa 30.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo MeineKekse!
(Vorweg: Ich schreibe [mm] $\IN_0$ [/mm] für [mm] $\IN\cup\{0\}$.)
[/mm]
> Kann ich die kleinste transfinite Ordinalzahl [mm]\omega[/mm]
> einfach als die Menge von [mm]\IN \cup[/mm] {0} auffassen, sprich
> schreiben [mm]\omega[/mm] = [mm]\{ \IN \cup \{0\}\}[/mm]
Das hängt davon ab, was du mit [mm] $\IN$ [/mm] meinst.
Falls du mit [mm] $\IN$ [/mm] die "Gesamtheit" der natürlichen Zahlen meinst, wie wir sie aus der Grundschule kennen, so kann [mm] $(\omega,<)$ [/mm] (im Falle der Konsistenz der Mengenlehre) durchaus anders aussehen als [mm] $(\IN_0,<)$:
[/mm]
Wir können zwar [mm] $0\in\IN_0$ [/mm] mit der kleinsten Ordinalzahl [mm] $x\in\omega$ [/mm] identifizieren, [mm] $1\in\IN_0$ [/mm] mit der zweitkleinsten Ordinalzahl [mm] $x\in\omega$ [/mm] identifizieren, [mm] $2\in\IN_0$ [/mm] mit der drittkleinsten Ordinalzahl [mm] $x\in\omega$ [/mm] identifizieren, usw.
Alle [mm] $x\in\omega$, [/mm] die wir so mit natürlichen Zahlen aus [mm] $\IN_0$ [/mm] identifiziert haben, möchte ich Standardzahlen nennen.
Es kann in [mm] $\omega$ [/mm] aber durchaus Zahlen [mm] $y\in\omega$ [/mm] geben, die $y>x$ für alle Standardzahlen [mm] $x\in\omega$ [/mm] erfüllen und somit keine Standardzahlen, sondern sogenannte Nichtstandardzahlen sind!
Ob [mm] $\omega$ [/mm] Nichtstandardzahlen enthält, hängt vom "Mengenuniversum" ab, indem wir [mm] $\omega$ [/mm] betrachten.
Wenn es überhaupt ein "Mengenuniversum" mit [mm] $\omega$ [/mm] ohne Nichtstandardzahlen "gibt", gibt es auch ein "Mengenuniversum" mit Nichtstandardzahlen.
Ich halte es für bedauerlich, dass dieser Umstand, dass [mm] $\omega$ [/mm] Nichtstandardzahlen enthalten kann und dann nicht den aus der Grundschule vertrauten natürlichen Zahlen entspricht, von vielen nicht richtig beachtet wird und gar das Gegenteil suggeriert wird.
Viele Grüße
Tobias
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