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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Sa 26.12.2009 | | Autor: | luna90 |
| Aufgabe | | Sei f : [a, b] [mm] \to [/mm] R stetig, f(a) [mm] \le [/mm] 0 und f(b) [mm] \ge [/mm] 0. Zeigen Sie, dass f eine kleinste Nullstelle besitzt. |
Hallo,
ich hab mich in den Ferien an diese Aufgabe gesetzt und frag mich ob ich das richtig durchdacht habe, also mir fällt nichts anderes ein, aber ich bin halt unsicher. Es wäre toll, wenn mir einer etwas dazu sagen könnte :)
also:
z.z. f besitzt eine kleinste Nullstelle
Beweis:
i) z.z. Existenz einer Nullstelle
nach dem Zwischenwertsatz existiert für f(a) [mm] \le [/mm] 0 und f(b) [mm] \ge [/mm] 0 ein x mit a [mm] \le [/mm] x [mm] \ge [/mm] b sodass f(x) = 0
ii) z.z. Existenz einer kleinsten Nullstelle
sei M : = { x | f(x) = 0}
da f(a) [mm] \le [/mm] 0 , gilt a [mm] \le [/mm] inf(M) [mm] \Rightarrow [/mm] es existiert ein Infimum von M
bleibt zu zeigen dass inf(M) [mm] \in [/mm] M , sodass inf(M) = min(M) und somit eine kleinste Nullstelle existiert.
sei inf (M) = L und die Folge von M [mm] (c_{n}) [/mm] mit [mm] \limes_{x\rightarrow a} (c_{n}) [/mm] = L
da f stetig ist, gilt:
[mm] lim(f(c_{n}) [/mm] = 0 = [mm] f(lim(c_{n}) [/mm] = f(L) [mm] \Rightarrow [/mm] f(L) = 0
deshalb gilt L [mm] \in [/mm] M
[mm] \Box
[/mm]
vielen Dank schon einmal
lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Sei f : [a, b] [mm]\to[/mm] R stetig, f(a) [mm]\le[/mm] 0 und f(b) [mm]\ge[/mm] 0.
> Zeigen Sie, dass f eine kleinste Nullstelle besitzt.
> Hallo,
> ich hab mich in den Ferien an diese Aufgabe gesetzt und
> frag mich ob ich das richtig durchdacht habe, also mir
> fällt nichts anderes ein, aber ich bin halt unsicher. Es
> wäre toll, wenn mir einer etwas dazu sagen könnte :)
> also:
>
> z.z. f besitzt eine kleinste Nullstelle
>
> Beweis:
>
> i) z.z. Existenz einer Nullstelle
>
> nach dem Zwischenwertsatz existiert für f(a) [mm]\le[/mm] 0 und
> f(b) [mm]\ge[/mm] 0 ein x mit a [mm]\le[/mm] x [mm]\ge[/mm] b sodass f(x) = 0
>
yep.
> ii) z.z. Existenz einer kleinsten Nullstelle
>
> sei M : = { x | f(x) = 0}
>
> da f(a) [mm]\le[/mm] 0 , gilt a [mm]\le[/mm] inf(M) [mm]\Rightarrow[/mm] es existiert
> ein Infimum von M
>
> bleibt zu zeigen dass inf(M) [mm]\in[/mm] M , sodass inf(M) = min(M)
> und somit eine kleinste Nullstelle existiert.
>
> sei inf (M) = L und die Folge von M [mm](c_{n})[/mm] mit
> [mm]\limes_{x\rightarrow a} (c_{n})[/mm] = L
>
> da f stetig ist, gilt:
>
> [mm]lim(f(c_{n})[/mm] = 0 = [mm]f(lim(c_{n})[/mm] = f(L) [mm]\Rightarrow[/mm] f(L) =
> 0
> deshalb gilt L [mm]\in[/mm] M
>
> [mm]\Box[/mm]
die menge der nullstellen ist abgeschlossen, richtig.
ich denke, deine loesung ist ok! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
gruss
Matthias
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> vielen Dank schon einmal
> lg
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Di 27.07.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Matthias
Brauchst du eine Tastatur wo man die Laute ä, ö, ü findet? Gruss Kuriger
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 Di 27.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Matthias
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> Brauchst du eine Tastatur wo man die Laute ä, ö, ü
> findet? Gruss Kuriger
Na Du witzbold, schau mal insein Profil:
MatthiasKr : Matthias Krüger · [pn] · Wohnort: Auckland (Neuseeland) [mm] \Leftarrow \Leftarrow
[/mm]
In Neuseeland benutzt jeder eine deutsche Tastatur !!!!
FRED
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