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kleine VI: Tipp
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:42 Di 11.04.2006
Autor: EasyLee

Hallo Leute!

Zeige  [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] 2^{n} [/mm]

Wie kann ich ohne Hilfe des Hilfsatzes im IS zeigen , dass

[mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k} [/mm] = [mm] 2^{n+1} [/mm] ist? Das muss doch gehen oder?


Bin versucht so was zu machen:

[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n+1 \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} +\bruch{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!(2n+2-k)}{k!(n+1-k)!} [/mm]

Weiter is nich. Geht das überhaupt so oder hab ich hier heftig was
nicht gerafft? Please help! Danke!
EasyLee

        
Bezug
kleine VI: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 Di 11.04.2006
Autor: Gnometech

Eine leichte Variante das zu zeigen geht über den binomischen Lehrsatz...

[mm] $(x+y)^n [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] x^k y^{n-k}$ [/mm]

Setze einfach $x = y = 1$ und Du bist fertig. Wenn Du das nicht machen möchtest, dann bietet sich an, die folgende Formel für Binomialkoeffizienten im IS zu verwenden:

${n + 1 [mm] \choose [/mm] k} = {n [mm] \choose [/mm] k} + {n [mm] \choose [/mm] k-1}$

Diese Formel läßt sich recht einfach elementar über die Definition der Binomialkoeffizienten über die Fakultäten beweisen... und damit kommst Du bestimmt auch zum Ziel. :-)

Viel Erfolg!

Gnometech

Bezug
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