kgV < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Do 02.05.2013 | | Autor: | hubi92 |
| Aufgabe | Aufgabe 1)
Seien a,b € N
Zeigen Sie:
V(kgV(a,b)) sei Teilmenge von V(a) ∩ V(b)
und Aufgabe 2)
Seien a,b € N
Zeigen Sie:
a ist genau dann ein Element der Teilermenge T(b), wenn die Vielfachenmenge V(b) eine Teilmenge der Vielfachenmenge V(a) ist.
(formal: a € T(b) <=> V(b) \ [mm] \subseteq [/mm] V(a). |
Hallo ihr Lieben!
Ich komme leider mal wieder nicht mit meiner Aufgabe weiter und hoffe, dass ihr mir helfen könnt!
Danke!
LG
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Hallo hubi92,
> Aufgabe 1)
> Seien a,b € N
>
> Zeigen Sie:
>
> V(kgV(a,b)) sei Teilmenge von V(a) ∩ V(b)
>
>
> und Aufgabe 2)
> Seien a,b € N
>
> Zeigen Sie:
>
> a ist genau dann ein Element der Teilermenge T(b), wenn die
> Vielfachenmenge V(b) eine Teilmenge der Vielfachenmenge
> V(a) ist.
> (formal: a € T(b) <=> V(b) \ [mm]\subseteq[/mm] V(a).
> Hallo ihr Lieben!
>
> Ich komme leider mal wieder nicht mit meiner Aufgabe weiter
Wie weit kommst du denn?
Was sind deine Ideen? Was hast du versucht?
Die 1) kann doch nicht so schwer sein ...
Wie ist denn die Vielfachenmenge definiert?
Die Aussage folgt doch fast direkt aus der Definition und der Tatsache, dass sowohl [mm]a[/mm] also auch [mm]b[/mm] das [mm]\kgV(a,b)[/mm] teilen ...
Sei [mm] $x\in V(\kgV(a,b))$, [/mm] dann gilt ....
In 2) zeige beide Richtungen [mm]\Rightarrow[/mm] und [mm]\Leftarrow[/mm]
> und hoffe, dass ihr mir helfen könnt!
> Danke!
> LG
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Fr 03.05.2013 | | Autor: | hubi92 |
> Wie weit kommst du denn?
>
> Was sind deine Ideen? Was hast du versucht?
>
> Die 1) kann doch nicht so schwer sein ...
>
> Wie ist denn die Vielfachenmenge definiert?
>
> Die Aussage folgt doch fast direkt aus der Definition und
> der Tatsache, dass sowohl [mm]a[/mm] also auch [mm]b[/mm] das [mm]\kgV(a,b)[/mm]
> teilen ...
>
> Sei [mm]x\in V(\kgV(a,b))[/mm], dann gilt ....
>
Ist das hier nicht theoretisch der gleiche Ansatz wie zu Nr.2?
x € V(kgV(a,b)) dann gilt
x=q*kgV(a,b)+r
r=x-q*kgV(a,b) und daraus folgt
a | x und b | x und a | kgV(a,b) und b | kgV(a,b)
?
>
> In 2) zeige beide Richtungen [mm]\Rightarrow[/mm] und [mm]\Leftarrow[/mm]
>
Hierzu habe ich jetzt eine Beweisrichtung, nämlich:
(Beweisrichtung von links nach rechts):
Es sei x € V(a) ∩ V(b).
Nach Satz 4 (Division mit Rest) gibt es q,r € N0 mit x=q*kgV(a,b)+r und r < kgV(a,b)
Nach Definition der Vielfachenmenge und kgV gilt: a | x und b | kgV(a,b)
zu zeigen ist noch r=0
Annahme: r>0
dann folgt: a | x-q*kgV(a,b) also a | r und b | x-q*kgV(a,b) also b | r
daher gilt nach definition Vielfachenmenge:
r € V(a) ∩ V(b) und mit definition des kgV folgt:
kgV(a,b) ≤ r
Widerspruch zu r < kgV(a,b)
Die Annahme ist also falsch , d.h r=0 und somit x=q*kgV(a,b)
Nach Definition Vielfchenmenge gilt x € V(kgV(a,b))
Die andere Beweisrichtung (rechts nach links) hab ich gerade mal versucht, könnt ihr mir sagen, ob das richtig ist, bzw. ob das reicht?
Für y € VkgV(a,b) gilt y=kgV(a,b) mit r € N
a | kgV(a,b) und b | kgV(a,b)
daraus folgt a | y und b | y und somit y € V(a) ∩ V(b)
Freue mich auf Rückmeldungen, Verbesserungsvorschläge etc .. =)
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Hallo,
> > Wie ist denn die Vielfachenmenge definiert?
schade, daß Du uns das nicht verrätst.
> Ist das hier nicht theoretisch
Was meint Du damit?
> der gleiche Ansatz wie zu
> Nr.2?
Keine Ahnung, denn denn kenne ich ja bisher nicht.
Ich weiß auch immer nicht so richtig, was mit "Ansatz" gemeint ist.
> V(kgV(a,b)) sei Teilmenge von V(a) ∩ V(b)
Unfug!
Die zu zeigenden Aussage lautet sicher:
V(kgV(a,b)) ist Teilmenge von V(a) ∩ V(b).
Dafür zu zeigen ist
[mm] x\in [/mm] V(kgV(a,b)) ==> [mm] x\in [/mm] V(a) ∩ V(b)
Beweis:
Sei
> x € V(kgV(a,b))
> dann gilt
> x=q*kgV(a,b)+r
Kokolores!
Man darf nicht, bloß weil es um Mathematik geht, den gesunden Menschenverstand komplett abschalten.
Was bedeutet es denn, wenn x in der Vielfachenmenge des kgV ist?
Ich sag's Dir: x ist - welch Wunder! - ein Vielfaches des kgV.
Also: x € V(kgV(a,b))
==> x=k*kgV(a,b) für ein [mm] k\in \IN.
[/mm]
Dein Ziel ist nun, zu zeigen, daß x sowohl Vielfaches von a als auch von b ist.
Jetzt denke über kgV(a,b) nach, mach Dir klar, daß das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b sowohl ein Vielfaches von a als auch von b ist,
daß es also [mm] r,s\in \IN [/mm] gibt mit
kgV(a,b)=...
kgV(a,b)=...
Wenn Du dies verwendest, wirst Du jeden von der zu zeigenden Aussage überzeugen können.
> r=x-q*kgV(a,b) und daraus folgt
> a | x und b | x und a | kgV(a,b) und b | kgV(a,b)
> ?
>
> >
> > In 2) zeige beide Richtungen [mm]\Rightarrow[/mm] und [mm]\Leftarrow[/mm]
> >
>
> Hierzu habe ich jetzt eine Beweisrichtung, nämlich:
>
> (Beweisrichtung von links nach rechts):
Es ist sehr vorteilhaft, diese auch zu notieren.
Du willst zeigen
a € T(b) ==> [mm] V(b)\subseteq [/mm] V(a).
((Prüfe mal an einem Zahlenbeispiel, ob die Aussage überhaupt stimmt!))
Beweis:
es sei [mm] a\in [/mm] T(b).
Was bedeutet das? Es gibt ein [mm] t\in \IN [/mm] mit ...
> Es sei x € V(a) ∩ V(b).
???
Warum betrachtest Du gerade eine Zahl, die Vielfaches von a und b ist?
Ich sehe den Grund nicht.
> Nach Satz 4 (Division mit Rest) gibt es q,r € N0 mit
> x=q*kgV(a,b)+r und r < kgV(a,b)
> Nach Definition der Vielfachenmenge und kgV gilt: a | x
> und b | kgV(a,b)
> zu zeigen ist noch r=0
Das ist doch Quatsch.
Wenn Du Dir ein x hernimmst, was sowohl Vielfaches von a als auch von b ist, dann gibt es ein [mm] k\in \IN [/mm] mit x=k*(ab).
Hm. Sag mal: bist Du gerade mit den beiden Aufgaben durcheinandergekommen? Hast versehtlich einen Mischmasch aus 1) und 2) gemacht.
Wir gehen es jetzt man sinnvoll an.
Zu zeigen ist
[mm] a\in [/mm] T(b) <==> [mm] V(b)\subseteq [/mm] V(a),
dh. es muß gezeigt werden
A.
[mm] a\in [/mm] T(b) ==> [mm] V(b)\subseteq [/mm] V(a)
und
B.
[mm] V(b)\subseteq [/mm] V(a) ==> [mm] a\in [/mm] T(b)
zu A.
Beweis:
es sei [mm] a\in [/mm] T(b).
Dann gibt es ein [mm] t\in \IN [/mm] mit ...
nun muß man zeigen, daß unter dieser Voraussetzung jedes x, welches in V(b) ist, auch in V(a) liegt.
Sei [mm] x\in [/mm] V(b).
Dann gibt es ein [mm] k\in \IN [/mm] mit ...
Und nun mußt Du glaubhaft machen, daß x auch ein Vielfaches von a ist.
zu B.
Beweis:
es gelte [mm] V(b)\subseteq [/mm] V(a).
es ist [mm] b\in [/mm] V(b), denn ...
Nach Voraussetzung ist auch [mm] b\in [/mm] V(a), dh. es gibt ein ... ....
Siehst Du, wie Du nun schließen kannst, daß [mm] a\in [/mm] T(b)?
LG Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:34 Mo 06.05.2013 | | Autor: | hubi92 |
> Hallo,
>
> > > Wie ist denn die Vielfachenmenge definiert?
>
Die Vielfachenmenge einer natürlichen Zahl erhält man, indem man diese Zahl der Reihe nach mit allen natürlichen Zahlen multipliziert.
> schade, daß Du uns das nicht verrätst.
>
>
> > r=x-q*kgV(a,b) und daraus folgt
>
> > > In 2) zeige beide Richtungen [mm]\Rightarrow[/mm] und [mm]\Leftarrow[/mm]
> > >
> >
> > Hierzu habe ich jetzt eine Beweisrichtung, nämlich:
> >
> > (Beweisrichtung von links nach rechts):
>
> Es ist sehr vorteilhaft, diese auch zu notieren.
> Du willst zeigen
>
> a € T(b) ==> [mm]V(b)\subseteq[/mm] V(a).
>
> ((Prüfe mal an einem Zahlenbeispiel, ob die Aussage
> überhaupt stimmt!))
>
> Beweis:
>
> es sei [mm]a\in[/mm] T(b).
>
> Was bedeutet das? Es gibt ein [mm]t\in \IN[/mm] mit ...
>
>
> > Es sei x € V(a) ∩ V(b).
>
> ???
> Warum betrachtest Du gerade eine Zahl, die Vielfaches von
> a und b ist?
> Ich sehe den Grund nicht.
>
> > Nach Satz 4 (Division mit Rest) gibt es q,r € N0 mit
> > x=q*kgV(a,b)+r und r < kgV(a,b)
> > Nach Definition der Vielfachenmenge und kgV gilt: a | x
> > und b | kgV(a,b)
> > zu zeigen ist noch r=0
>
> Das ist doch Quatsch.
> Wenn Du Dir ein x hernimmst, was sowohl Vielfaches von a
> als auch von b ist, dann gibt es ein [mm]k\in \IN[/mm] mit
> x=k*(ab).
>
Das habe ich aus meiner Vorlesung abgeschrieben. Diese Beweisrichtung war also schon vorgegeben!
>
> Wir gehen es jetzt man sinnvoll an.
>
> Zu zeigen ist
>
> [mm]a\in[/mm] T(b) <==> [mm]V(b)\subseteq[/mm] V(a),
>
> dh. es muß gezeigt werden
>
> A.
> [mm]a\in[/mm] T(b) ==> [mm]V(b)\subseteq[/mm] V(a)
>
> und
>
> B.
> [mm]V(b)\subseteq[/mm] V(a) ==> [mm]a\in[/mm] T(b)
>
> zu A.
> Beweis:
> es sei [mm]a\in[/mm] T(b).
> Dann gibt es ein [mm]t\in \IN[/mm] mit ...
>
> nun muß man zeigen, daß unter dieser Voraussetzung jedes
> x, welches in V(b) ist, auch in V(a) liegt.
>
> Sei [mm]x\in[/mm] V(b).
>
> Dann gibt es ein [mm]k\in \IN[/mm] mit ...
>
> Und nun mußt Du glaubhaft machen, daß x auch ein
> Vielfaches von a ist.
>
>
> zu B.
> Beweis:
> es gelte [mm]V(b)\subseteq[/mm] V(a).
>
> es ist [mm]b\in[/mm] V(b), denn ...
>
> Nach Voraussetzung ist auch [mm]b\in[/mm] V(a), dh. es gibt ein ...
> ....
>
> Siehst Du, wie Du nun schließen kannst, daß [mm]a\in[/mm] T(b)?
>
> LG Angela
>
>
>
>
Danke für deine Hilfe! Aber so ganz komme ich noch nicht zurecht...
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> > Hallo,
> >
> > > > Wie ist denn die Vielfachenmenge definiert?
> >
> Die Vielfachenmenge einer natürlichen Zahl erhält man,
> indem man diese Zahl der Reihe nach mit allen natürlichen
> Zahlen multipliziert.
> > schade, daß Du uns das nicht verrätst.
> >
> >
> > > r=x-q*kgV(a,b) und daraus folgt
>
> >
> > > > In 2) zeige beide Richtungen [mm]\Rightarrow[/mm] und [mm]\Leftarrow[/mm]
> > > >
> > >
> > > Hierzu habe ich jetzt eine Beweisrichtung, nämlich:
> > >
> > > (Beweisrichtung von links nach rechts):
> >
> > Es ist sehr vorteilhaft, diese auch zu notieren.
> > Du willst zeigen
> >
> > a € T(b) ==> [mm]V(b)\subseteq[/mm] V(a).
> >
> > ((Prüfe mal an einem Zahlenbeispiel, ob die Aussage
> > überhaupt stimmt!))
> >
> > Beweis:
> >
> > es sei [mm]a\in[/mm] T(b).
> >
> > Was bedeutet das? Es gibt ein [mm]t\in \IN[/mm] mit ...
> >
> >
> > > Es sei x € V(a) ∩ V(b).
> >
> > ???
> > Warum betrachtest Du gerade eine Zahl, die Vielfaches
> von
> > a und b ist?
> > Ich sehe den Grund nicht.
> >
> > > Nach Satz 4 (Division mit Rest) gibt es q,r € N0 mit
> > > x=q*kgV(a,b)+r und r < kgV(a,b)
> > > Nach Definition der Vielfachenmenge und kgV gilt: a |
> x
> > > und b | kgV(a,b)
> > > zu zeigen ist noch r=0
> >
> > Das ist doch Quatsch.
> > Wenn Du Dir ein x hernimmst, was sowohl Vielfaches von
> a
> > als auch von b ist, dann gibt es ein [mm]k\in \IN[/mm] mit
> > x=k*(ab).
> >
> Das habe ich aus meiner Vorlesung abgeschrieben. Diese
> Beweisrichtung war also schon vorgegeben!
>
> >
> > Wir gehen es jetzt man sinnvoll an.
> >
> > Zu zeigen ist
> >
> > [mm]a\in[/mm] T(b) <==> [mm]V(b)\subseteq[/mm] V(a),
> >
> > dh. es muß gezeigt werden
> >
> > A.
> > [mm]a\in[/mm] T(b) ==> [mm]V(b)\subseteq[/mm] V(a)
> >
> > und
> >
> > B.
> > [mm]V(b)\subseteq[/mm] V(a) ==> [mm]a\in[/mm] T(b)
> >
> > zu A.
> > Beweis:
> > es sei [mm]a\in[/mm] T(b).
> > Dann gibt es ein [mm]t\in \IN[/mm] mit ...
> >
> > nun muß man zeigen, daß unter dieser Voraussetzung jedes
> > x, welches in V(b) ist, auch in V(a) liegt.
> >
> > Sei [mm]x\in[/mm] V(b).
> >
> > Dann gibt es ein [mm]k\in \IN[/mm] mit ...
> >
> > Und nun mußt Du glaubhaft machen, daß x auch ein
> > Vielfaches von a ist.
> >
> >
> > zu B.
> > Beweis:
> > es gelte [mm]V(b)\subseteq[/mm] V(a).
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> > es ist [mm]b\in[/mm] V(b), denn ...
> >
> > Nach Voraussetzung ist auch [mm]b\in[/mm] V(a), dh. es gibt ein ...
> > ....
> >
> > Siehst Du, wie Du nun schließen kannst, daß [mm]a\in[/mm] T(b)?
> >
> > LG Angela
> >
> >
> >
> >
> Danke für deine Hilfe! Aber so ganz komme ich noch nicht
> zurecht...
Hallo,
das ist schade.
Welche Art von Hilfe erwartest Du denn noch?
Ich hatte Dir zuvor recht viele Hinweise zur Vorgehensweise gegeben, auf welche Du gar nicht eingegangen bist, genausowenig wie Du die Fragen, die Dir helfen sollten, beantwortet hast.
Es wirkt, als hättest Du Dich gar nicht eingehend damit beschäftigt.
LG Angela
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