kern und rang < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Do 27.03.2008 | | Autor: | wilduck |
| Aufgabe | ![[]](/images/popup.gif) Link
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
wie kommt man darauf
steh da gerade total aufm schlauch
oder erstma n tipp oder ahh hilfe ^^
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Hey,
der Kern ist die Lösung des Systems Ax=0 und das Bild sind die linear unabhängigen Spalten.
Was genau verstehst du daran denn nicht?
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Do 27.03.2008 | | Autor: | wilduck |
also bei der 41 a bekommt der ne basis für den bildraum und ne basis für nullraum vektoren raus
und ich würd gern wissen wie ich auf diese vektoren komme bzw wie ich se ausrechen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Do 27.03.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
du musst A mittels Gauß in Zeilenstufenform bringen.
[mm] A=\pmat{ -1 & -1 & 0 & -3 & -3 \\ 2 & 0 & -2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 & 2 \\ -1 & 2 & 3 & 2 & -1 \\ 0& 1 & 1 & 3 & 2}
[/mm]
Ich habe das jetzt einmal mittels PC auf "Zeilenstufenform" gebracht:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
rang(A) = 3 = dim Bild (A)
Es exisitieren demnach 3 Vektoren [mm] x,y,z\in\IR^5, [/mm] die eine Basis des Bildes bilden.
Hier kannst du genau die Spaltenvektoren nehmen, bei denen in der Zeilenstufenform eine Stufe (daher der Name  ) auftritt. Eine Stufe ist in Spalte 1, Spalte 2 und Spalte 4. Also nehmen wir den Vektor der Spalte 1, Spalte 2 und Spalte 4 der Ausgangsmatrix als Basisvektoren des Bildes.
In diesem Fall: [mm] x=\vektor{-1 \\ 2 \\ 1\\ -1 \\ 0}, y=\vektor{-1 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \\ 1 } [/mm] und [mm] z=\vektor{-3 \\ -1 \\ 3 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
Jetzt kommt dein Einwand  - Aber diese Vektoren stimmen doch überhaupt nicht mit den Vektoren aus der Lösung überein. Richtig, aber die Vektoren in der Lösung lassen sich linear kombinieren durch die hier angegebenen Vektoren. Die Vektoren x,y,z bilden eine Basis von Bild(A).
Wir wissen, dim Bild(A)=3.
Kern(A)= 5 - 3 = 2.
Du musst demach 2 Vektoren finden, für die gilt [mm] A\cdot{v}=0.
[/mm]
Also
[mm] \pmat{ -1 & -1 & 0 & -3 & -3 \\ 2 & 0 & -2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 & 2 \\ -1 & 2 & 3 & 2 & -1 \\ 0& 1 & 1 & 3 & 2}*v=0
[/mm]
Hier kannst du
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 0 & 0}*v=0 [/mm] lösen und erhälst die beiden in der Musterlösung angegebenen Vektoren.
MfG barsch
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