keine Gruppe, aber alle Axiome < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Konstruieren Sie ein Beispiel einer Menge G mit einer binaren, assoziativen Verknupfung [mm] \circ: G\times [/mm] G [mm] \to [/mm] G, so dass G ein Element e enthalt mit den Eigenschaften:
(1) Es ist e [mm] \circ [/mm] a = a für alle a [mm] \in [/mm] G.
(2) Es gibt zu jedem a [mm] \in [/mm] G ein [mm] b\in [/mm] G mit a [mm] \circ [/mm] b = e,
so dass (G; [mm] \circ [/mm] ) keine Grupee ist. |
Hallo zusammen,
hier bin ich einfach überfragt...
Ich weiß das eine Menge 4 Axiome erfüllen muss, um eine Gruppe zu sein.
1. Muss es abgeschlossen sein (die Verknüpfung von 2 Elementen darf nicht aus der Gruppe hinausführen),
2. Assoziativ sein,
3. muss eine neutrales Element enthalten sein,
4. muss ein inverses Element enthalten sein, für alle Elemente der Menge.
Mein Problem: All diese Eigenschaften sind doch erfüllt...
GxG ---> G sagt doch das es abgeschlossen sein muss,
e ist das neutrale Element,
b ist in diesemfall das inverse Element zu a,
Assoziativ und binär muss die Verknüpfung nach Aufgabe auch sein.
Hab schon ein bisschen mit komplexen Zahlen ausprobiert, aber die haben wir gerade erst eingeführt, und ich weiß daher nicht wie ich sie konkret so verwenden könnte, um die Aufgabe zu lösen.
Mit Permutationen habe ich auch versucht die Aufgabe zu lösen, aber auch ohne Erfolg.
Sry das ich hier keinen richtigen Ansatz präsentieren kann, aber ich habe einfach keine Idee...
Ich habe die Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
Ich bedanke mich schonmal im Voraus.
lg Kai
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Dies sind im Wesentlichen die Gruppenaxiome, aber
eines ist unvollständig. Im Axiom über das neutrale
Element wird gefordert:
[mm] e\circ{a}=a\circ{e}=a [/mm] für alle [mm] a\in{G}
[/mm]
Hier wird nur [mm] e\circ{a}=a [/mm] gefordert. Versuche also
eine (möglichst einfache) Menge G und eine zugehörige
Operation zu finden, bei der [mm] a\circ{e}=a [/mm] nicht immer gilt.
LG
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hallo Kai,
bei dieser Aufgabe gilt es ganz genau hinzuschauen
| Aufgabe | Konstruieren Sie ein Beispiel einer Menge G mit einer binären, assoziativen Verknüpfung [mm] \circ: [/mm] G [mm] \times [/mm] G [mm] \to [/mm] G, so dass G ein Element e enthält mit den Eigenschaften:
(1) Es ist e [mm] \circ [/mm] a = a für alle a [mm] \in [/mm] G.
(2) Es gibt zu jedem a [mm] \in [/mm] G ein b [mm] \in [/mm] G mit a [mm] \circ [/mm] b = e,
so dass (G ; [mm] \circ [/mm] ) keine Gruppe ist. |
(1) besagt, dass das Element e linksneutral sein soll:
wenn man a von links mit e multipliziert, ist das Ergebnis a
(2) fordert für jedes [mm] a\in [/mm] G ein rechtsinverses Element b:
wenn man a von rechts mit b multipliziert, ist das Ergebnis e
In den "richtigen" Gruppenaxiomen fordert man aber
ein linksneutrales Element e und zu jedem [mm] a\in [/mm] G ein
linksinverses Element b mit b [mm]\circ[/mm] a = e
(oder ein rechtsneutrales Element e und rechtsinverse
Elemente).
Dieser kleine Unterschied hat gravierende Konsequenzen.
Tatsächlich garantieren die in der Aufgabe gegebenen
"Axiome" nicht alle Gruppeneigenschaften.
Es genügt, ein Gegenbeispiel zu geben. Die Menge [mm] M=\{e,f\}
[/mm]
mit der Verknüpfung [mm] $\circ$ [/mm] :
$\ [mm] e\circ [/mm] e=e$
$\ [mm] e\circ [/mm] f=f$
$\ [mm] f\circ [/mm] e=e$
$\ [mm] f\circ [/mm] f=f$
bildet ein solches. Die Verknüpfung bildet G [mm] \times [/mm] G auf G ab,
ist assoziativ, hat ein linksneutrales Element und zu jedem [mm] a\in [/mm] G
ein rechtsinverses Element b , und doch liegt keine Gruppe vor.
In einer Gruppe muss das neutrale Element linksneutral und
rechtsneutral sein. Das e in diesem Beispiel ist nicht rechtsneutral,
denn [mm] f*e\not= [/mm] f !
Fordert man in den Axiomen nur ein linksneutrales e und zu
jedem a ein linksinverses b mit $\ b [mm] \circ [/mm] a=e$ , so kann man daraus
herleiten, dass e auch rechtsneutral ist. Bei den modifizierten
"Axiomen" der Aufgabe gelingt dieser Beweis nicht.
Al-Chw.
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