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hallo
ich hätte eine frage zum kartesischen produkt
ich habe da bei einer aufgabe ziemliche probleme:
es seien folgende mengen gegeben:
M1 := {(x,y) R × R I |x - y| [mm] \le [/mm] 2}
M2 := {(x,y) R × R I |x| + |y| [mm] \le [/mm] 2}
M3 := {(x,y) R × R I |x + y| [mm] \le [/mm] 2}
M4 := {(x,y) R × R I x [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] x + |y| [mm] \le [/mm] 2}
ich muss folgende aussagen mit der dreiecksungleichung beweisen oder mit einem gegenbeispiel widerlegen:
a) M2 [mm] \subset [/mm] M3 [mm] \cap [/mm] M1
b) M3 [mm] \cap [/mm] M1 [mm] \subset [/mm] M4
c) M2 [mm] \setminus [/mm] M4 [mm] \subset [/mm] M3 [mm] \cap [/mm] M2
kann mir hierbei freundlicherweise jemand helfen?
insbesondere würde mich interessieren wie man sich die mengen bildlich veranschaulichen kann
denn das fällt mir besonders schwer
mit freundlichen grüßen
rudi
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ich habe versucht die behauptung a.) folgendermaßen zu widerlegen
ich hoffe jemand von euch kann mir sagen ob das richtig oder falsch ist, bzw. ob man eventuell etwas ergänzen kann:
ist (x,y) [mm] \in [/mm] M2, so gilt |x| + |y| [mm] \le [/mm] 2
begründung mit dreiecksungleichung:
|x+y| [mm] \le [/mm] |x| + |y| [mm] \le [/mm] 2 [mm] \to [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] M3
|x-y| [mm] \le [/mm] |x| + |-y| = |x| + |y| [mm] \le [/mm] 2 [mm] \to [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] M1
[mm] \to [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] M3 [mm] \cap [/mm] M1
jetzt möchte ich noch zeigen, dass M2 = M3 [mm] \cap [/mm] M1
ist (x,y) [mm] \in [/mm] M3 [mm] \cap [/mm] M1, so gilt |x+y| [mm] \le [/mm] 2 [mm] \wedge [/mm] |x-y| [mm] \le [/mm] 2
1.fall: x [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] y [mm] \ge [/mm] 0
x+y [mm] \le [/mm] 2
|x+y| [mm] \le [/mm] 2 [mm] \to [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] M3
2.fall: x [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] y < 0
x-y [mm] \le [/mm] 2
|x-y| [mm] \le [/mm] 2 [mm] \to [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] M1
3.fall: x < 0 [mm] \wedge [/mm] y [mm] \ge [/mm] 0
-x+y [mm] \le [/mm] 2
[mm] -(x+y)\le [/mm] 2
|x-y| [mm] \le [/mm] 2 [mm] \to [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] M1
4.fall: x < 0 [mm] \wedge [/mm] y < 0
-x-y [mm] \le [/mm] 2
-(x+y) [mm] \le [/mm] 2
|x+y| [mm] \le [/mm] 2 [mm] \to [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] M3
[mm] \to [/mm] M2 [mm] \subseteq [/mm] M3 [mm] \cap [/mm] M1
[mm] \to [/mm] M2 = M3 [mm] \cap [/mm] M1
und falls alles falsch sein sollte, sehts mir bitte nach, ich hab grad angefangen zu studieren
am besten wäre, es könnte heute noch jemand antworten
rudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Mi 26.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> ich habe versucht die behauptung a.) folgendermaßen zu
> widerlegen
ähenm, du hast sie bewiesen!
> ist (x,y) [mm]\in[/mm] M2, so gilt |x| + |y| [mm]\le[/mm] 2
> begründung mit dreiecksungleichung:
> |x+y| [mm]\le[/mm] |x| + |y| [mm]\le[/mm] 2 [mm]\to[/mm] (x,y) [mm]\in[/mm] M3
> |x-y| [mm]\le[/mm] |x| + |-y| = |x| + |y| [mm]\le[/mm] 2 [mm]\to[/mm] (x,y) [mm]\in[/mm]
> M1
> [mm]\to[/mm] (x,y) [mm]\in[/mm] M3 [mm]\cap[/mm] M1
Richtig - keine Einwände!
> jetzt möchte ich noch zeigen, dass M2 = M3 [mm]\cap[/mm] M1
(4 Fallunterscheidungen)
Ich hab mir das jetzt nicht näher angeschaut, aber einfach die 4 Fälle zu unterscheiden, scheint mir auch das simpelste zu sein. Was extrem elegantes ist mir auch nicht eingefallen.
Was ist jetzt mit den anderen Aufgaben?
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 So 23.10.2005 | | Autor: | Samurai |
Hallo Rudi,
als ersten Ansatz solltest du dir für jede Menge erst einmal ein kartesisches Koordinatensystem zeichnen und die Mengen eintragen. Dann wird vielleicht klarer, wie diese aussehen und welche Schnittmengen sich untereinander ergeben.
Gruß,
Marco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 So 23.10.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
Ich würde genau das gleiche, wie in der anderen Antwort, vorschlagen, allerdings gebe ich noch ein paar Tips zu den Mengen (und das nächste mal: alles im Formeleditor!)
> M1 := (x,y) R × R I |x - y| [mm]\le[/mm] 2
Wenn [m](x,y)[/m] in der Menge ist, dann ist auch [m](x,y)+\lambda(1,1)\forall\lambda\in\IR[/m] in der Menge - also Geraden mit Steigung 1. Es reicht also zu zeigen, durch welche Punkt [m](0,l)[/m] sie überhaupt gehen können.
> M2 := (x,y) R × R I |x| + |y| [mm]\le[/mm] 2
Achsensymmetrisch bzgl. beider Achsen - also schaut man sich es im 1. Quadraten an - dort ist es das Dreick mit den Punkten [m](0,0),(0,2),(2,0)[/m].
> M3 := (x,y) R × R I |x + y| [mm]\le[/mm] 2
Wie bei M1, blos Steigung -1
> M4 := (x,y) R × R I x [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\wedge[/mm] x + |y| [mm]\le[/mm] 2
Welcher Teil von M2?
> a) M2 [mm]\subset[/mm] M3 [mm]\cap[/mm] M1
Richtig - zeige aber sogar: die Mengen sind gleich!
> b) M3 [mm]\cap[/mm] M1 [mm]\subset[/mm] M4
Falsch.
> c) M2 [mm]\setminus[/mm] M4 [mm]\subset[/mm] M3 [mm]\cap[/mm] M2
Richtig.
Ich hoffe, ich habe da keine Fehlerchen reingebracht.
SEcki
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