kanonischer Homomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:37 Do 06.10.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei $R$ ein Ring, und seien $I,J$ Ideale von R. Sei $F:R [mm] \rightarrow [/mm] S$ der kanonische Homomorphismus durch $f(r)=r+I$ definiert.
a) Zeige, dass $f(J) [mm] \lhd [/mm] S$
b) Zeige, dass $R/I+J$ zu $S/f(J)$ isomorph ist. |
Hallo,
a) zz: [mm] $J\subseteq [/mm] R
ist ein Ideal folgt mit dem Homomorphismus : $F: [mm] R\rightarrow [/mm] S$ dass $f(J) [mm] \subseteq [/mm] S$ ein Ideal ist.
Beweis: Sei $a,b [mm] \in [/mm] f(J)$. Dann ist [mm] $0\in [/mm] J$ und $f(0)=0$ so dass [mm] $0\in [/mm] f(J)$. Nach Voraussetzung ist [mm] $f(a-b)=f(a)-f(b)\in [/mm] J$ so dass die Abgeschlossenheit bezüglich der Subtraktion gegeben ist. Sei nun $c [mm] \in [/mm] S$. Dann hat man $f(ca)=f(c)f(a) [mm] \in [/mm] J$, da J ein Ideal von R ist. Dasselbe gilt für [mm] $ac\in [/mm] f(J)$. Also ist $f(J)$ ein Ideal von S.
bei b) finde ich gerade keinen Ansatz...
Stimmt mein a) so??
Vielen Dank für jede Hilfe.
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:19 Do 06.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]R[/mm] ein Ring, und seien [mm]I,J[/mm] Ideale von R. Sei [mm]F:R \rightarrow S[/mm]
> der kanonische Homomorphismus durch [mm]f(r)=r+I[/mm] definiert.
>
> a) Zeige, dass [mm]f(J) \lhd S[/mm]
>
>
> b) Zeige, dass [mm]R/I+J[/mm] zu [mm]S/f(J)[/mm] isomorph ist.
>
> Hallo,
>
>
> a) zz: [mm]$J\subseteq[/mm] R
> ist ein Ideal folgt mit dem Homomorphismus : [mm]F: R\rightarrow S[/mm]
> dass [mm]f(J) \subseteq S[/mm] ein Ideal ist.
>
> Beweis: Sei [mm]a,b \in f(J)[/mm]. Dann ist [mm]0\in J[/mm] und [mm]f(0)=0[/mm] so
> dass [mm]0\in f(J)[/mm]. Nach Voraussetzung ist [mm]f(a-b)=f(a)-f(b)\in J[/mm]
Du meinst $... [mm] \in [/mm] f(J)$.
> so dass die Abgeschlossenheit bezüglich der Subtraktion
> gegeben ist. Sei nun [mm]c \in S[/mm]. Dann hat man [mm]f(ca)=f(c)f(a) \in J[/mm],
> da J ein Ideal von R ist. Dasselbe gilt für [mm]ac\in f(J)[/mm].
> Also ist [mm]f(J)[/mm] ein Ideal von S.
Das stimmt im wesentlichen, du musst nur noch erwaehnen, dass $f$ auch surjektiv ist und somit jedes Element aus $S$ von der Form $f(r)$ fuer $r [mm] \in [/mm] R$.
> bei b) finde ich gerade keinen Ansatz...
Wende den Homomorphiesatz auf die Verkettung [mm] $\varphi [/mm] : R [mm] \to [/mm] S [mm] \to [/mm] S / f(J)$ an. Ist [mm] $\varphi$ [/mm] surjektiv? Was ist [mm] $\ker \varphi$?
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:04 Fr 07.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Felix!
> surjektiv
ja es ist surjektiv und $ker(S/(f(J))=S [mm] \cap [/mm] f(J)$ dann kann ich das zurückführen auf eine andere bewiesen Isomorphie.
> LG
Vielen Dank !!!
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:52 Fr 07.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > surjektiv
>
> ja es ist surjektiv
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und [mm]ker(S/(f(J))=S \cap f(J)[/mm] dann kann
Moment! Du willst den Kern von [mm] $\varphi$ [/mm] bestimmen! $S/f(J)$ ist kein Homomorphismus und [mm] $\ker(S [/mm] / f(J))$ macht keinen Sinn!
Und $f(J)$ ist eh eine Teilmenge von $S$, damit macht $S [mm] \cap [/mm] f(J)$ auch nur begrenzt Sinn...
LG Felix
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