kanonische Projektion < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei U ein Unterraum von V und [mm] \pi: [/mm] V [mm] \to [/mm] V/U die kanonische Projektion.
Zeigen Sie:
Für jeden Unterraum W von V/U ist das Urbild [mm] \pi^{-1}(W) [/mm] ein Unterraum von V, der U umfasst. |
[mm] \pi^{-1}(W)= [/mm] { [mm] x\inV [/mm] | [mm] \pi(x) \in [/mm] W }
Jetzt seien x und y aus dem Urbild. Nun muss man zeigen, dass die Summe auch drin liegt. Jetzt sehe ich nicht, wie ich das zeigen soll. Bringt mich folgender Ansatz weiter?
x+y <=> [mm] \pi^{-1}(\pi(x)) [/mm] + [mm] \pi^{-1}(\pi(y))
[/mm]
Ich habe noch eine Frage: Ist die kanonische Projektion immer linear?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:36 Mi 24.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei U ein Unterraum von V und [mm]\pi:[/mm] V [mm]\to[/mm] V/U die kanonische
> Projektion.
> Zeigen Sie:
> Für jeden Unterraum W von V/U ist das Urbild [mm]\pi^{-1}(W)[/mm]
> ein Unterraum von V, der U umfasst.
> [mm]\pi^{-1}(W)=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]x\inV[/mm] | [mm]\pi(x) \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
W }
> Jetzt seien x und y aus dem Urbild. Nun muss man zeigen,
> dass die Summe auch drin liegt. Jetzt sehe ich nicht, wie
> ich das zeigen soll. Bringt mich folgender Ansatz weiter?
> x+y <=> [mm]\pi^{-1}(\pi(x))[/mm] + [mm]\pi^{-1}(\pi(y))[/mm]
> Ich habe noch eine Frage: Ist die kanonische Projektion
> immer linear?
Ja, und das brauchst Du oben auch:
Seien x,y [mm] \in \pi^{-1}(W), [/mm] also [mm] \pi(x),\pi(y) \in [/mm] W
Da W ein Unterraum und [mm] \pi [/mm] linear ist, folgt: [mm] \pi(x+y) [/mm] = [mm] \pi(x)+\pi(y) \in [/mm] W, folglich:
x+y [mm] \in \pi^{-1}(W)
[/mm]
FRED
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