k-te Wurzel, Beweis < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:21 Sa 17.01.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei [mm] k\ge2 [/mm] eine natürliche Zahl und a>0 eine positive reelle Zahl. Dann konvergiert für jeden Anfangswert [mm] x_0>0 [/mm] die durch
[mm] x_{n+1} :=\frac{1}{k} ((k-1)x_n+\frac{a}{x_n^{k-1}})
[/mm]
rekursiv definierte Folge [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] gegen die eindeutig bestimmte positive Lösung der Gleichung [mm] x^k=a. [/mm] |
Hallo,
Der Beweis wird im Forster Analysis 1(S.58) geführt.
Ich verstehe den Beweis zu der Konvergenz nicht.
Die Rekursionsformel wird zunächst umgeformt:
[mm] x_{n+1}=\frac{1}{k}x_n((k-1)+\frac{a}{x_n^{k}})=x_n(1+\frac{1}{k}(\frac{a}{x_n^k}-1))
[/mm]
Aus der Bernoullischen Ungleichung wird gefolgert
[mm] (1+\frac{1}{k}(\frac{a}{x_n^k}-1))^k \ge [/mm] 1+ [mm] (\frac{a}{x_n^k} [/mm] -1)= [mm] \frac{a}{x_n^k},
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{n+1}^k \ge [/mm] a.
Frage 1 Wie kommt man dann zur anschließenden Folgerung [mm] \frac{a}{x_n^k} \le [/mm] 1 für alle n [mm] \ge [/mm] 1?
Aus [mm] \frac{a}{x_n^k} \le [/mm] 1 für alle n [mm] \ge [/mm] 1 wird gefolgert [mm] \frac{1}{k}(\frac{a}{x_n^k}-1)\le0
[/mm]
Und damit ist klar [mm] x_{n+1} \le x_n [/mm] für [mm] n\ge1. [/mm] D.h. die Folge [mm] (x_n)_{n\ge1} [/mm] ist monoton fallend und durch 0 nach unten beschränkt [mm] \Rightarrow [/mm] Konvergenz
Frage 2 : Das beschriebene Verfahren ist ja ein Spezialfall des Newton-Verfahrens für die Funktion [mm] f:\IR_+ \to \IR, f(x):=x^k [/mm] -a
Hier wird aber im Beweis für die Konvergenz des Newton-Vefahrens verlangt, dass [mm] f(x_0)\ge0, [/mm] d.h. [mm] x_0^k [/mm] -a [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \iff x_0 \ge [/mm] a.
Also bietet das NewtonVerfahren keine Aussage wenn [mm] x_0^k [/mm] < a ist oder?
LG,
sissi
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> Sei [mm]k\ge2[/mm] eine natürliche Zahl und a>0 eine positive
> reelle Zahl. Dann konvergiert für jeden Anfangswert [mm]x_0>0[/mm]
> die durch
> [mm]x_{n+1} :=\frac{1}{k} ((k-1)x_n+\frac{a}{x_n^{k-1}})[/mm]
>
> rekursiv definierte Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] gegen die
> eindeutig betsimmte Lösung der Gleichung [mm]x^k=a.[/mm]
Hallo sissi,
ich will gar nicht auf deine Fragen eingehen, da mir im
Moment die Zeit dazu fehlt.
Ich möchte nur darauf hinweisen, dass in der (oben zitierten)
Aufgabenstellung etwas nicht stimmt.
Wenn nämlich k eine natürliche Zahl mit [mm]k\ge2[/mm] und a eine positive
reelle Zahl ist, so stimmt es im Allgemeinen nicht, dass
die Gleichung $\ [mm] x^k\ [/mm] =\ a$ eine eindeutig bestimmte reelle Lösung hat !
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Sa 17.01.2015 | | Autor: | sissile |
> > Sei [mm]k\ge2[/mm] eine natürliche Zahl und a>0 eine positive
> > reelle Zahl. Dann konvergiert für jeden Anfangswert [mm]x_0>0[/mm]
> > die durch
> > [mm]x_{n+1} :=\frac{1}{k} ((k-1)x_n+\frac{a}{x_n^{k-1}})[/mm]
> >
>
> > rekursiv definierte Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] gegen die
> > eindeutig betsimmte Lösung der Gleichung [mm]x^k=a.[/mm]
>
>
> Hallo sissi,
>
> ich will gar nicht auf deine Fragen eingehen, da mir im
> Moment die Zeit dazu fehlt.
>
> Ich möchte nur darauf hinweisen, dass in der (oben
> zitierten)
> Aufgabenstellung etwas nicht stimmt.
>
> Wenn nämlich k eine natürliche Zahl mit [mm]k\ge2[/mm] und a eine
> positive
> reelle Zahl ist, so stimmt es im Allgemeinen nicht, dass
> die Gleichung [mm]\ x^k\ =\ a[/mm] eine eindeutig bestimmte reelle
> Lösung hat !
>
> LG , Al-Chw.
Danke, dass du mich auf den Fehler aufmerksam machst.
Natürlich eine eindeutig bestimmte positive Lösung. Ich ändere es mal eben!
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 19.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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