k-te Ableitung des arctan < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:00 Do 03.05.2007 | | Autor: | Hrungnir |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Taylorreihe des Arcustangens um a=0. |
Ich habe diese Frage auf keinem anderem Internetforum gestellt.
Hallo,
wir sollen die Taylorreihe des Arcustangens mit dem Entwicklungspunkt a=0 berechnen. Dazu brauche ich zuerst einmal allgemein die k-te Ableitung des arctan. Der Rest ist dann einfach.
Ich habe nun versucht, eine allgemeine Formel für die Ableitung durch Probieren mithilfe von Derive zu ermitteln und dann per Induktion zu beweisen, aber das gestaltet sich diffiziler als ich dachte. Mein Vorschlag:
[mm] \arctan^{(k)}(x)=\bruch{\cos(k\pi)*(k-1)!*x^{k-1}*\summe_{i=0}^{\floor(\bruch{k-1}{2})}(\cos(i\pi)\vektor{k \\ 2i+1}x^{-2i})}{(x^2+1)^k}
[/mm]
Kann das jemand bestätigen? Kann man das vereinfachen, oder muß man das wirklich ableiten und dann nach k+1 umstellen (was mir bislang nicht gelungen ist).
Bin für alle Hilfe dankbar. Vielen Dank im Voraus.
Gruß,
Hrungnir
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Ich würde dir empfehlen, die Sache von einer ganz anderen Seite anzugehen. Beginne mit der geometrischen Reihe
[mm]\frac{1}{1 - t} = \sum_{k=0}^{\infty}~t^k \, , \ \ |t|<1[/mm]
und substituiere [mm]t = -x^2[/mm]. Eine Integration liefert dir dann sofort das Gewünschte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Fr 04.05.2007 | | Autor: | Hrungnir |
Danke, Leopold, das ist ein tolle Idee.
Aber darf ich einfach Integral und Reihe vertauschen, oder muß ich da noch irgendwas mit gleichmäßiger Konvergenz zeigen?
gruß, Hrungnir
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Ob du zur Rechtfertigung noch etwas tun mußt, hängt vom Gang der Vorlesung ab. Vielleicht hattet ihr schon, daß man Potenzreihen in ihrem Konvergenzgebiet lustig integrieren darf. Dann wäre das erledigt ...
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Hallo Hrungnir!
Wenn Du es nicht über die (elegante) Lösung von Leopold machen möchtest, hätte ich noch die Idee, dass Du nicht die allgemeine $k._$ Ableitung des [mm] $\arctan(x)$ [/mm] verwendest, sondern lediglich induktiv den Wert an der Stelle $a \ = \ 0$ zeigst:
[mm] $\arctan^{(k)}(a) [/mm] \ = \ [mm] \arctan^{(k)}(0) [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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