jordansche Normalform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 So 06.05.2007 | | Autor: | feri |
Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe , die lautet:
A [mm] \in\ [/mm] Mat(3x3, [mm] \IC [/mm] ) , Beweisen Sie dass sich aus dem Char.Pol und dem Min.Pol von A die jordansche Normalform ablesen lässt. und für 4x4 Matrizen funktioniert das nicht.
Mit dem Beispiel verstehe ich das. Aber ich weiß es nicht, wie ich mit dem Beweis anfangen soll.
Vielen Dank im Voraus!
feri
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 So 06.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo feri,
> A [mm]\in\[/mm] Mat(3x3, [mm]\IC[/mm] ) , Beweisen Sie dass sich aus dem
> Char.Pol und dem Min.Pol von A die jordansche Normalform
> ablesen lässt. und für 4x4 Matrizen funktioniert das
> nicht.
>
> Mit dem Beispiel verstehe ich das. Aber ich weiß es
> nicht, wie ich mit dem Beweis anfangen soll.
du kannst das beweisen, indem du eine Fallunterscheidung nach der Anzahl der verschiedenen Nullstellen des charakteristischen Polynoms machst (also 1, 2 oder 3). In jedem der Faelle kannst du dir dann ueberlegen, wie das Minimalpolynom aussehen kann, und wie in jeder der Moeglichkeit die JNF aussieht.
Das dies fuer $4 [mm] \times [/mm] 4$-Matrizen nicht geht, kannst du mit einem Gegenbeispiel zeigen (einfach zwei verschiedene $4 [mm] \times [/mm] 4$-Matrix in Jordanscher Normalform hinschreiben, die das gleiche char. Poly. und das gleiche Minimalpolynom haben). (Ein kleiner Tipp: koennen zwei solche Jordansche Normalformen jeweils mindestens zwei verschiedene Eigenwert haben?)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Di 08.05.2007 | | Autor: | feri |
Hallo ,
Vielen Dank für die Hilfe!
Für 4x4 Matrizen habe ich das folgende gegen Beispiel:
wenn [mm] MinPol(t)=(t-\lambda)^2 \Rightarrow [/mm] es gibt ein Jordanblock ( zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] )der Länge 2, aber damit kann man nicht die JNF darstellen, denn es gibt für JNF zwei Möglichkeiten:
entweder:
[mm] JNF=\pmat{ \lambda & 1& 0 & 0 \\ 0 & \lambda &0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0& 0 & \lambda}
[/mm]
Oder :
[mm] JNF=\pmat{ \lambda & 1& 0 & 0 \\ 0 & \lambda &0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0& 0 & \lambda}
[/mm]
D.h. mit Char. bzw. Min.Pol kann man hier nicht weiter machen.
Ist das als ein Gegenbeispiel genug?
Vielen Dank!
feri
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 Di 08.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo feri
> Vielen Dank für die Hilfe!
> Für 4x4 Matrizen habe ich das folgende gegen Beispiel:
> wenn [mm]MinPol(t)=(t-\lambda)^2 \Rightarrow[/mm] es gibt ein
> Jordanblock ( zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm] )der Länge 2, aber
> damit kann man nicht die JNF darstellen, denn es gibt für
> JNF zwei Möglichkeiten:
>
> entweder:
> [mm]JNF=\pmat{ \lambda & 1& 0 & 0 \\ 0 & \lambda &0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0& 0 & \lambda}[/mm]
>
>
> Oder :
> [mm]JNF=\pmat{ \lambda & 1& 0 & 0 \\ 0 & \lambda &0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0& 0 & \lambda}[/mm]
>
>
> D.h. mit Char. bzw. Min.Pol kann man hier nicht weiter
> machen.
> Ist das als ein Gegenbeispiel genug?
Ja, das passt!
LG Felix
|
|
|
|
