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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:18 Mo 23.06.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | Gegeben sei A = [mm] \pmat{5 & 0 & -3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -1} \in M_3(\IQ).
[/mm]
Man gebe die Jordan'sche Normalform, das Minimalpolynom, sowie eine Matrix S [mm] \in GL(3,\IQ), [/mm] so daß [mm] S^{-1}AS [/mm] Jordansche Normalform von A ist. |
hi ^^
hab mich da mal rangewagt, det(xE-A) berechnet, es kommt
[mm] \chi_A(X)=(X-2)^3 [/mm] raus.
aus (2*E-A) = .. = [mm] \pmat{-3 & 0 & 3\\ 0&0&0\\0&0&0} [/mm] folgt der eigenvektor (1,0,1) und (0,1,0) --> [mm] S=\pmat{1&0&0 \\ 0&1&0\\ 1&0&0} [/mm] => [mm] J_A=\pmat{4&0&0\\0&2&0\\0&0&0}
[/mm]
und Minimalpolynom wär doch [mm] \mu_A(X)=(X-2) [/mm] oder?
gruß
ben
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:28 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Bei der Jordanschen NF haut auf jeden Fall etwas nicht hin, denn auf der Diagonale müssen die Eigenwerte stehen. Da ausserdem dein Eigenraum die Dimension 2 hat, der Eigenwert aber die Vielfachheit 3, muss noch irgendwo sich eine 1 verstecken in der JNF.
Das Minimalpolynom ist auch falsch. Setz' doch einfach deine Matrix da ein, da kommt nie und nimmer Null raus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:48 Mo 23.06.2008 | | Autor: | eumel |
ach so'n quatsch, hab die jetzt diagonalisiert, falls die rechnung so überhaupt richtig ist, könnte das einer vllt bestätigen oder widerlegen?
dim(Kern(2E-A)) = 2, [mm] dim(Kern(2E-A)^2) [/mm] = [mm] \IR. [/mm] Mit dem Kochrezept, welches man im inet findet, soll man sich dann nen vektor aus dem kern von der 3x3 0-Matrix angeben, der nicht in Kern(2E-A) liegt. Also zb (1,1,0).
Nur jetzt bleib ich leider stocken....-.-
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Di 24.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> ach so'n quatsch, hab die jetzt diagonalisiert, falls die
> rechnung so überhaupt richtig ist, könnte das einer vllt
> bestätigen oder widerlegen?
Diagonalisiert hast du es auch falsch. Denn dann müssten trotzdem die Eigenwerte auf der Diagonale stehen. Ausserdem ist die Matrix gar nicht diagonalisierbar.
Das Chararakteristische Polynom ist aber richtig.
>
> dim(Kern(2E-A)) = 2, [mm]dim(Kern(2E-A)^2)[/mm] = [mm]\IR.[/mm] Mit dem
> Kochrezept, welches man im inet findet, soll man sich dann
> nen vektor aus dem kern von der 3x3 0-Matrix angeben, der
> nicht in Kern(2E-A) liegt. Also zb (1,1,0).
> Nur jetzt bleib ich leider stocken....-.-
Du hast noch die beiden Eigenvektoren zur Verfügung.
Ausserdem musst du, soweit ich mich recht erinnere, noch die Matrix A auf diesen Vektor anwenden... bin mir aber nicht sicher.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:54 Di 24.06.2008 | | Autor: | eumel |
scheiße ^^
aber zumindest weiß ich schon einmal, dass die alg. vielfachheit von dem ew 2 gleich 3 ist. eben aus 2E-A folgen [mm] v_1=\vektor{1\\0\\1}, v_2=\vektor{0\\1\\0}. [/mm]
alg. vielfachheit ist nicht gleich der geom. aber da komm ich leider ins stocken..... :-/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 Di 24.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ja da musste jetzt den Hauptraum bestimmen.... oder irgendwie so.... jemand anders kann dir da vll mehr weiterhelfen. Habs schon alles vergessen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 26.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Di 24.06.2008 | | Autor: | eumel |
ist die Jordan'sche Form J von A mit
[mm] S=\pmat{1&0&-1\\0&1&0\\1&0&1} [/mm] dann [mm] S^{-1}AS=J=\pmat{2&0&6\\0&2&0\\0&0&2} [/mm] jetzt korrekt?
gruß ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Di 24.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Nein, in der JNF stehen genau die Eigenwerte auf der Diagonale und in der Diagonale daneben vereinzelt ein paar Einser.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:04 Mi 25.06.2008 | | Autor: | eumel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hey Merle ;)
ich hab mir ein paar mal das "kochrezept" angeschaut, hoffe auch, dass ich das richtig gemacht hab, also:
eigenwert ist 2, alg. vielfachheit 3, alg. 2, da zu \pmat[-3&0&3\\0&0&0\\-3&0&3} eben die vektoren (1,0,1) und (0,1,0) doch basisvektoren des kerns (2E-A) sind. (2E-A)^2 = 0. somit ist hierfür der kern ja gleich ganz R^3.
laut dem kochrezept muss man sich eben einen vektor aus R^3 suchen, der nicht durch die basis des kerns (2E-A) dargestellt werden kann, also (-1,0,1).
Nur wie muss ich dann weitermachen? ich steig da leider nicht durch -.-
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