isotroper Vektor; Dimension < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo zusammen,
habe ein kleines Problem mit diesen drei Teilaufgaben!
Zu 1:
Ich muss doch hier nur prüfen ob [mm] b(v,v)=v^t [/mm] A v=0 ist. Ist das der Fall so ist v ein isotroper Vektor. Das reicht doch oder???
Oder was hat es mit einer Gramschen Matrix auf sich!! Habe davon noch nie gehört...Hat die besondere Eigenschaften die ich zu beachten habe??
zu 2:
Wieder das Problem mit der Gramschen Matrix!!
Oder ist die wie jede andere Matrix zu behandeln???Aber wie überprüfe ich ob die Dimension =1 ist??
zu 3:
Wie gehe ich hier vor??
WEiß: symmetrisch heißt b(v,v')=b(v',v) [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V
kann mir jemand helfen??
Wäre prima!
Viele Grüße & frohe Ostern sendet, der mathedepp_No.1
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Sa 07.04.2007 | | Autor: | Blueman |
Hallo
zu 1: Ja reicht.
zu 2: Soweit ich weiß, ist [mm] (\IR^{3})^{\perp} [/mm] = der Lösungsraum von Ax = 0
Damit hättest du dann auch die Dimension.
zu 3: Dann rechne doch einfach mal b(v,v') und b(v',v) aus. Wenn nach erlaubten Umformungen dasselbe raus kommt ist b symmetrisch. Hierbei sind v und v' Elemente des [mm] \IR^{2}.
[/mm]
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ok alles klar.
Hab ich jetzt wie folgt gemacht:
1: also [mm] v^t*A*v=-1 \not=0 \Rightarrow [/mm] v ist kein isotroper Vektor von b!
2: Da die Spaltenvektoren der Matrix A linear unabhängig sind liefert das homogene Gleichungssystem nur die Triviale Lösung, sprich: [mm] x_1=x_2=x_3=0 \Rightarrow (\IR^3)^\perp [/mm] = Nullraum [mm] \Rightarrow dim(\IR^3)^\perp [/mm] = 0 [mm] \not=1
[/mm]
3: Ich setzte also gleich:
[mm] b((x_1,x_2),(y_1,y_2))=b((y_1,y_2),(x_1,x_2))
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] x_1x_2y_1y_2-x_1y_1+x_2y_2=y_1y_2x_1x_2-y_1x_1+y_2x_2
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
0=0
[mm] \Rightarrow [/mm] die Binlinearform ist symmetrisch
Stimmt das so??Kann ich mir kaum vorstellen!!
Hoffe jemand von euch schaut mal drüber und bezieht kritisch Stellung!!
Schöne Feiertage noch, viele Grüße, der mathedepp_No.1
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> ok alles klar.
>
> Hab ich jetzt wie folgt gemacht:
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> 1: also [mm]v^t*A*v=-1 \not=0 \Rightarrow[/mm] v ist kein isotroper
> Vektor von b! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> 2: Da die Spaltenvektoren der Matrix A linear unabhängig
> sind liefert das homogene Gleichungssystem nur die Triviale
> Lösung, sprich: [mm]x_1=x_2=x_3=0 \Rightarrow (\IR^3)^\perp[/mm] =
> Nullraum [mm]\Rightarrow dim(\IR^3)^\perp[/mm] = 0 [mm]\not=1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 3: Ich setzte also gleich:
>
> [mm]b((x_1,x_2),(y_1,y_2))=b((y_1,y_2),(x_1,x_2))[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]x_1x_2y_1y_2-x_1y_1+x_2y_2=y_1y_2x_1x_2-y_1x_1+y_2x_2[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> 0=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] die Binlinearform ist symmetrisch
hmm, den Schritt von der2. auf die 3.Gleichung solltest du zumindest etwas begründen
>
> Stimmt das so??Kann ich mir kaum vorstellen!!
>
> Hoffe jemand von euch schaut mal drüber und bezieht
> kritisch Stellung!!
>
> Schöne Feiertage noch, viele Grüße, der mathedepp_No.1
Hallo mathedepp,
mein Ansatz für die letzte Aufgabe wäre folgendes:
[mm] b((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1x_2y_1y_2-x_1y_1+x_2y_2=y_1y_2x_1x_2-y_1x_1+y_2x_2 [/mm] (Kommutativität in [mm] \IR)
[/mm]
[mm] =b((y_1,y_2),(x_1,x_2))
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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