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hi...
als,habe folgende aufgabe zu lösen...
Wie aus der Vorlesung bekannt ist,ist di Abbildung
[mm] \alpha [/mm] : [mm] Hom_{K} [/mm] (V,W) [mm] \to Hom_{K} [/mm] (W*,V*), F [mm] \mapsto [/mm] F*
(Die jedem F [mm] \in Hom_{K} [/mm] (V,W) die duale Abbildung zuordnet) ein Homomorphismus. Zeigen sie,dass [mm] \alpha [/mm] sogar ein Isomorphismus ist.
Ich weiß,dass ich jetzt Injektivität und surjektivität zeigen muss! Aber wie mache ich das?wie setze ich an?
Ich weiß nicht weiter....
Bitte um Hilfe,danke
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> Wie aus der Vorlesung bekannt ist,ist di Abbildung
> [mm]\alpha[/mm] : [mm]Hom_{K}[/mm] (V,W) [mm]\to Hom_{K}[/mm] (W*,V*), F [mm]\mapsto[/mm]
> F*
> (Die jedem F [mm]\in Hom_{K}[/mm] (V,W) die duale Abbildung
> zuordnet) ein Homomorphismus. Zeigen sie,dass [mm]\alpha[/mm] sogar
> ein Isomorphismus ist.
Hallo,
> Ich weiß,dass ich jetzt Injektivität und surjektivität
> zeigen muss!
das ist ja schon etwas...
Aber wie mache ich das?wie setze ich an?
Bevor Du irgendetwas ansetzt, mußt Du Dir klar machen, womit Du es zu tun hast, was Dein [mm] \alpha [/mm] wohin abbildet.
Welches sind die Elemente von [mm] Hom_{K}(V,W)?
[/mm]
Was sind W*,V*?
Welches sind die Elemente von [mm] Hom_{K}(W*,V*)?
[/mm]
Was ist F*, was macht F*?
> Ich weiß nicht weiter....
Wenn Du diese Fragen geklärt hast, wirst Du leichter wissen, was zu tun ist.
Gruß v. Angela
> Bitte um Hilfe,danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:16 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Maceo |
Hi! Da ich gerade an der selben Aufgabe sitze, gebe ich jetzt einfach mal meinen Senf dazu:
> [mm]\alpha[/mm] : [mm]Hom_{K}[/mm] (V,W) [mm] \to Hom_{K}[/mm] (W*,V*), F [mm] \mapsto[/mm] F*
> Bevor Du irgendetwas ansetzt, mußt Du Dir klar machen,
> womit Du es zu tun hast, was Dein [mm]\alpha[/mm] wohin abbildet.
>
> Welches sind die Elemente von [mm]Hom_{K}(V,W)?[/mm]
K-lineare Abbildungen F:V[mm]\to[/mm]W
> Was sind W*,V*?
W* ist der Dualraum zu W
W*:=[mm]Hom_{K}(W,K)= \{\lambda:W\to K | \lambda K-linear\}[/mm]
Def. von V* analog...
Die Elemente in V* und W* nennt man Linearformen.
> Welches sind die Elemente von [mm]Hom_{K}(W\*,V\*)?[/mm]
K-lineare Abbildungen F:W*[mm]\to[/mm]V*
> Was ist F*, was macht F*?
F:W*[mm]\to[/mm]V* ist die zu F:V[mm]\to[/mm]W duale Abbildung und bildet
wohl Linearformen aus W* auf Linearformen aus V* ab?!
> Wenn Du diese Fragen geklärt hast, wirst Du leichter
> wissen, was zu tun ist.
Zu zeigen ist nun:
Injektivität: [mm] \alpha(F)=\alpha(G) [/mm] (bzw. F*=G*) [mm] \Rightarrow [/mm] F=G
Surjektivität: [mm] \forall [/mm] F* [mm] \in Hom_{K} [/mm] (W*,V*) [mm] \exists [/mm] F [mm] \in Hom_{K} [/mm] (V,W) : [mm] \alpha(F)=F\*
[/mm]
Oder reicht es für die Injektivität zu zeigen, dass [mm] Ker(\alpha)= \{0\} [/mm] ist?
Weil [mm] Hom_{K}(V,W) [/mm] und [mm] Hom_{K}(W\*,V\*) [/mm] auch Vektorräume sind
und die Abbildung linear ist (das wäre ja dann äquivalent zur
Injektivität)?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:03 Mi 14.12.2005 | | Autor: | mathiash |
Hallo zusammen,
in der Tat reicht es fuer Injektivitaet, kern [mm] \alpha =\{0\} [/mm] zu zeigen.
Wenn man die Injektivitaet hat, kann man auch die Abbildung
[mm] \beta [/mm] : [mm] Hom(W^*,V^*)\to Hom(V^{**},W^{**}) [/mm] (analog zu [mm] \alpha [/mm] definiert) betrachten und
dann beobachten, dass
- [mm] V^{**} [/mm] isomorph zu V ist und
- bis auf diese Isomprphie [mm] \beta \circ\alpha [/mm] die Identitaet ist, dann folgt aus der Inj.
von [mm] \alpha [/mm] die Surjektivitaet.
Gruss,
Mathias
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Mellen |
N'abend!
Wie zeigt man denn in diesem Fall das der Kern von [mm]\alpha[/mm]={0} ist?
Der kern ist ja definiert als [mm]\{v\in V | \alpha (v)=0\}[/mm].
Heißt das jetzt in meinem Fall dass F*=0 ist und ich daraus folgern muss dass auch F dann 0 ist???
Vielen Dank schon mal!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Mellen!
Genau. Und im Falle $F [mm] \ne [/mm] 0$ findest du ein $v [mm] \in [/mm] V$ mit $F(v) [mm] \ne [/mm] 0$. Betrachte nun ein [mm] $\varphi \in W^{\star}$ [/mm] mit [mm] $\varphi(F(v)) \ne [/mm] 0$ (ein solches [mm] $\varphi$ [/mm] gibt es, mache dir das bitte klar).
Dann haben wir
[mm] $[F^{\star}(\varphi)](v) [/mm] = [mm] \varphi(F(v)) \ne [/mm] 0$,
also: [mm] $\alpha(F)=F^{\star} \ne [/mm] 0$.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich will die Erläuterungen von Mathias mal näher ausführen.
Wir definieren also
[mm] $\beta [/mm] : [mm] Hom(W^{\star}, V^{\star}) \to Hom(V^{\star\star},W^{\star\star})$
[/mm]
durch
[mm] $\beta(\Psi) [/mm] = [mm] \Psi^{\star}$
[/mm]
für [mm] $\Psi \in Hom(W^{\star},V^{\star})$, [/mm] wobei
[mm] $\Psi^{\star} (v^{\star\star}) [/mm] = [mm] v^{\star\star} \circ \Psi$
[/mm]
für [mm] $v^{\star\star} \in V^{\star\star}$.
[/mm]
Weiterhin sei
[mm] $\iota: [/mm] Hom(V,W) [mm] \to Hom(V^{\star\star},W^{\star\star})$
[/mm]
definiert durch
[mm] $\iota(F)(v^{\star\star}) [/mm] = [mm] \iota_{F(v)}$
[/mm]
für $F [mm] \in [/mm] Hom(V,W)$ und
[mm] $\iota_{F(v)} \in W^{\star\star}$
[/mm]
mit
[mm] $\iota_{F(v)}(\varphi) [/mm] = [mm] \varphi(F(v))$
[/mm]
für [mm] $\varphi \in W^{\star}$.
[/mm]
Es folgt dann für alle $F [mm] \in [/mm] Hom(V,W)$, [mm] $v^{\star\star} \in V^{\star\star}$ [/mm] und alle [mm] $\varphi \in W^{\star}$:
[/mm]
[mm] $\left\{ [(\beta \circ \alpha)(F)] (v^{\star\star}) \right\} [/mm] ( [mm] \varphi)$
[/mm]
$= [mm] [v^{\star\star} (\alpha(F))](\varphi)$
[/mm]
[mm] $=(v^{\star\star} \circ F^{\star})(\varphi)$
[/mm]
[mm] $=(F^{\star}(\varphi))(v)$
[/mm]
$= [mm] \varphi(F(v))$
[/mm]
$= [mm] \iota_{F(v)}(\varphi)$
[/mm]
$= [mm] \left\{ [\iota(F)](v^{\star\star}) \right\} (\varphi)$.
[/mm]
Also ist:
[mm] $\beta \circ \alpha [/mm] = [mm] \iota$,
[/mm]
und somit [mm] ($\iota$ [/mm] ist ein kanonischer Isomorphismus!):
[mm] $\iota^{-1} \circ \beta \circ \alpha [/mm] = [mm] id_{Hom(V,W)}$.
[/mm]
Somit hat [mm] $\alpha$ [/mm] ein Linksinverses und ist also auch surjektiv.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 Mi 14.12.2005 | | Autor: | SEcki |
> und somit ([mm]\iota[/mm] ist ein kanonischer Isomorphismus!):
Hmm. Hier benutzt man doch implizit die endlich-Dimensionalität von V und W? Mir kam die Behauptung eh etwas sehr komisch vor - die Aussage im OP sollte doch im allgemeinen falsch sein, oder? Wenn nicht, ist der Beweis so dann nicht okay (überseh ich was?)
Falls wir uns aber im endlich-dim. befinden, ist der Beweis imo viel zu umständlich, denn dann reicht ja die Injektivität vollständig aus (Dimensionsargument).
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ja, der Beweis funktioniert nur im Endlichdimensionalen (was hier wohl stillschweigend vorausgesetzt wird) und es ist klar, dass dann aus der Injektivität die Bijektivität folgt, aber ich fand es dennoch reizvoll, die Surjektivität "direkt" (also über die Linksinverse) zu zeigen und Mathias Idee auszuführen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mi 14.12.2005 | | Autor: | thommy |
Hallo zusammen.
warum folgt aus der injektivität die bijektivität`?
kann mir einer das bitte erleutern? :)
vielen dank
thommy
(diese frage hab ich nirgendswo anders gestellt :) )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Mellen |
Hallo thommy,
es gibt einen Satz der besagt dass wenn V,W endlich dim. K-VR sind mit dimV=dimW und F:V->W k-linear dann ist injektiv<=>surjektiv<=>bijektiv
D.h. wenn du hier zeigst dass dim F=dim F* folgt aus Injektivität direkt die Bijektivität!
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