isometrie < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Diagonalisieren sie folgende matrizen über [mm] \IC [/mm] durch unitäre Isometrien bzgl. des Standardskalarproduktes(d.h. geben sie die Isometrien auch an):
[mm] \pmat{ 1 & i & 1 \\ -i & 0 & -i \\ 1 & i & 0 } [/mm] |
Hallo Leute!
Als erstes habe ich versucht Jordannormalform zu bestimmen weil es uns so gesagt worden ist,wobei ich nicht ganz verstehe warum man die bestimmen muss.Auf jeden Fall habe ich als Eigenwerte [mm] x=-1,1+\wurzel{2},1-\wurzel{2} [/mm] heraus,eingestezt in ker(A-x*E) ergibt dann nach Umformung bei allen drei die Einheitsmatrix,dh. Eigenvektoren sind <(1,1,1)> ??So aber jetzt weiß ich nicht weiter.
Wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte.
Besten Gruß
Martin
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Mo 30.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Da hast du dich verrechnet. Die Eigenvektoren müssen doch verschieden sein zu verschiedenen Eigenwerten.
|
|
|
| |
|
Hallo Merle,
Ok aber ich verstehe nicht wie die Eigenvektoren sind.Also ich habe die Eigenwerte in (A-x*E) eingesetzt und da kam dann nach umformen die Einheitsmatrix heraus und zwar bei allen drei,wie sehe ich hieraus die Eigenvektoren?und vorallen wie mache ich dann weiter?Danke!
Besten Gruß
Martin
|
|
|
| |
|
> Ok aber ich verstehe nicht wie die Eigenvektoren sind.Also
> ich habe die Eigenwerte in (A-x*E) eingesetzt und da kam
> dann nach umformen die Einheitsmatrix heraus und zwar bei
> allen drei,wie sehe ich hieraus die Eigenvektoren?und
> vorallen wie mache ich dann weiter?
Hallo,
zeig mal, was Du getan hast. Sonst können wir den Fehler ja nicht finden.
Die Eigenwerte in (A-x*E) einzusetzen ist schonmal richtig. Von der entstehenden Matrix ist dann jeweils der Kern bzw. eine Basis desselbigen zu berechnen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo Angela,
Also ich habe :
[mm] ker(\pmat{ 2 & i & 1 \\ -i & 1 &-i \\ 1 & i & 1 } [/mm] das umgeformt erhalte ich
[mm] \pmat{ 0 & 1 & -i \\ 0 & -i & -1 \\ 1 & 0 & 0 } [/mm] und ab heir hatte ich mich wohl dann verrechnet weil ich jetzt aufeinmal nicht mehr die Einheitsmatrix raus bekomme sondern [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -i & -1 \\ 1 & 0 & 0 } [/mm] daraus erhält man,x1=0 , -i*x2=x3 und jetzt wählt man x2=i,x3=1 oder ist das nicht so sinnvoll x2 so zu wählen?ist dann mein Eigenvektor:(0,i,1)?
Danke &
Besten GRuß
Martin
|
|
|
| |
|
> ist dann mein Eigenvektor:(0,i,1)?
Hallo,
ja genau, das ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1.
Jetzt bestimme in derselben Art und Weise die anderen Eigenvektoren.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
