isolierte Singularitäten < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:55 Mi 11.11.2009 | | Autor: | kittie |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Art der Singularitäten von f(z) ohne die Hilfe der Laurent Reihe.
[mm] f(z)=\bruch{cos(z)}{z^2-\bruch{\pi^2}{4}} [/mm] |
Hallo zusammen,
komme mit obiger Aufgabe nicht ganz zurecht.
Offensichtlich sind die Singularitäten ja [mm] z_{0}=\bruch{-\pi}{2} [/mm] und [mm] z_{1}=\bruch{\pi}{2}, [/mm] die anscheinend behebbar sind, da sie auch nullstellen des zählers sind. Ich weiß jetzt allerdings wie ich das ohne die Laurent Reihe zeigen kann. Haben hier ein Theorem, dass vielleicht hilft, ich damit aber nicht klar komme: "Sei [mm] z_{0} [/mm] eine isolierte Singularität von f. Dann hat f eine behebbare Singularität in [mm] z_{0} [/mm] gdw ein Kreis [mm] D(z_{0},r) [/mm] mit Mittelpunkt [mm] z_{0} [/mm] und radius r existiert auf diesem |f(z)| beschränkt ist"
Kann man das damit lösen?Wenn ja, wie gehe ich vor'?Oder gibt es noch andere Möglichkeiten??
Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Vielen Dank im Voraus.
liebe grüße, die kittie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Mi 11.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Nehmen wir mal $ [mm] z_{1}=\bruch{\pi}{2}, [/mm] $
Da [mm] z_1 [/mm] eine einfache Nullstell von $cos(z)$ ist, gibt es eine auf [mm] \IC [/mm] holomorphe Funktion g mit
$cos(z) = [mm] (z-\bruch{\pi}{2})g(z)$ [/mm] und [mm] $g(\bruch{\pi}{2}) \not=0$
[/mm]
Dann ist
$f(z) = [mm] \bruch{g(z)}{z+\bruch{\pi}{2}}$
[/mm]
Damit ist |f| in der Nähe von [mm] z_1 [/mm] beschränkt
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Mi 11.11.2009 | | Autor: | kittie |
ahhh....ok super...ja habe ich verstanden.
ein problem bleibt mir jedoch noch. Und zwar soll ich im Falle von behebbaren Singularitäten den Grenzwert von f an diesen Punkten bestimmen.
Mit dieser Lösung komme ich diesbezüglich jedoch nicht sehr weit, da ich ja nicht weiß wie g(z) aussieht....:-(
Kannst du nochmal helfen?
Wäre super!
Liebe Grüße, die kittie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:34 Do 12.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei wieder $ [mm] z_{1}=\bruch{\pi}{2} [/mm] $
Wir hatten $ cos(z) = [mm] (z-\bruch{\pi}{2})g(z) [/mm] $ und $ f(z) = [mm] \bruch{g(z)}{z+\bruch{\pi}{2}} [/mm] $
Dann ist
[mm] $\limes_{z\rightarrow z_1}f(z)= \bruch{g(z_1)}{z_1+\bruch{\pi}{2}}= \bruch{g(\pi/2)}{\pi}$
[/mm]
Was wir also noch benötigen ist [mm] g(\pi/2).
[/mm]
Aus $ cos(z) = [mm] (z-\bruch{\pi}{2})g(z) [/mm] $ folgt durch Differentiation:
$-sin(z)= [mm] g(z)+(z-\bruch{\pi}{2})g'(z) [/mm] $
Für $z = [mm] \pi/2$ [/mm] liefert dies: $-1= [mm] g(\pi/2)$
[/mm]
FRED
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