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| Aufgabe | 2.
Determine the curves passing through [mm] \left(\frac{1}{2};\wurzel{\frac{3}{2}} \right) [/mm] which cuts each member of the family [mm] $x^2+y^2=c^2$ [/mm] at an angle of 60°. |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
[mm] $x^2+y^2=c^2$
[/mm]
[mm] $y'=\frac{-F_x}{F_y}=-\frac{x}{y}=tan(\alpha_1)$
[/mm]
DGL der isogonalen Trajektorie:
[mm] $y'=tan(\alpha_1 \pm \alpha_2)$
[/mm]
[mm] $y'=\frac{tan(\alpha_1)\pm tan(\alpha_2)}{1-/+tan(\alpha_1)*tan(\alpha_2)}$
[/mm]
[mm] $y'=\frac{-\frac{x}{y} \pm \wurzel{3}}{1\pm\frac{x}{y}*\wurzel{3}}$
[/mm]
[mm] $x'(y)=\frac{1\pm\frac{x}{y}*\wurzel{3}}{-\frac{x}{y} \pm \wurzel{3}}$
[/mm]
[mm] $v=\frac{x}{y}$ [/mm] ; $x'=v+yv'$
[mm] $v+yv'=\frac{1 \pm v*\wurzel{3}}{-v \pm \wurzel{3}}$
[/mm]
[mm] $yv'=\frac{1 \pm v*\wurzel{3}}{-v \pm \wurzel{3}}+\frac{v^2 -/+ v*\wurzel{3}}{-v \pm \wurzel{3}}$
[/mm]
[mm] $yv'=\frac{1 +v^2}{-v \pm \wurzel{3}}$
[/mm]
[mm] $-\frac{1}{2} \int \frac{-2*(-v \pm \wurzel{3})}{1+v^2} \;dv [/mm] = [mm] \int \frac{1}{y} \;dy$
[/mm]
[mm] $-\frac{1}{2} \int \left( \frac{(2}{1+v^2}-/+2\wurzel{3}*\frac{1}{1+v^2} \right) \;dv [/mm] = [mm] \int \frac{1}{y} \;dy$
[/mm]
[mm] $-\frac{1}{2}ln|1+v^2| \pm \wurzel{3}*arctan(v)=ln|y|+C'$
[/mm]
[mm] $ln\left|1+\frac{x^2}{y^2} \right| [/mm] -/+ [mm] 2\wurzel{3}*arctan\left( -\frac{x}{y} \right)+ln|y^2|=C$
[/mm]
[mm] $ln\left|x^2+y^2 \right| \pm 2\wurzel{3}*arctan\left( \frac{x}{y} \right)=C$
[/mm]
[mm] \left(\frac{1}{2};\wurzel{\frac{3}{2}} \right)
[/mm]
Hier meine erste Frage. In der Lösung steht:
[mm] $ln\left|x^2+y^2 \right| \pm 2\wurzel{3}*arctan\left( \frac{y}{x} \right)=C$
[/mm]
, also der Kehrwert im Argument des arctan;
und
[mm] $ln\left|x^2+y^2 \right| \pm 2\wurzel{3}*arctan\left( \frac{y}{x} \right)=\pm [/mm] 2 [mm] \pi \frac{\wurzel{3}}{3}$
[/mm]
, wobei ich C nicht nachvollziehen kann.
Wenn ich einmal die Lösung des Buches hernehme und den gegebenen Punkt einsetze, so erhalte ich:
[mm] $ln\left|\frac{7}{4} \right| [/mm] + [mm] 2\wurzel{3}*arctan\left( \wurzel{6} \right)=4,6583$
[/mm]
und
[mm] $ln\left|\frac{7}{4} \right| [/mm] - [mm] 2\wurzel{3}arctan\left( \wurzel{6} \right)=-3,5391$
[/mm]
Habe ich mich verrechnet oder liegt ein Druckfehler im Buch vor?
Vielen Dank für's Drüberschauen.
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> 2.
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> Determine the curves passing through
> [mm]\left(\frac{1}{2};\wurzel{\frac{3}{2}} \right)[/mm] which cuts
> each member of the family [mm]x^2+y^2=c^2[/mm] at an angle of 60°.
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
>
> [mm]x^2+y^2=c^2[/mm]
>
> [mm]y'=\frac{-F_x}{F_y}=-\frac{x}{y}=tan(\alpha_1)[/mm]
>
> DGL der isogonalen Trajektorie:
>
> [mm]y'=tan(\alpha_1 \pm \alpha_2)[/mm]
>
> [mm]y'=\frac{tan(\alpha_1)\pm tan(\alpha_2)}{1-/+tan(\alpha_1)*tan(\alpha_2)}[/mm]
>
> [mm]y'=\frac{-\frac{x}{y} \pm \wurzel{3}}{1\pm\frac{x}{y}*\wurzel{3}}[/mm]
>
> [mm]x'(y)=\frac{1\pm\frac{x}{y}*\wurzel{3}}{-\frac{x}{y} \pm \wurzel{3}}[/mm]
>
> [mm]v=\frac{x}{y}[/mm] ; [mm]x'=v+yv'[/mm]
>
> [mm]v+yv'=\frac{1 \pm v*\wurzel{3}}{-v \pm \wurzel{3}}[/mm]
>
> [mm]yv'=\frac{1 \pm v*\wurzel{3}}{-v \pm \wurzel{3}}+\frac{v^2 -/+ v*\wurzel{3}}{-v \pm \wurzel{3}}[/mm]
>
> [mm]yv'=\frac{1 +v^2}{-v \pm \wurzel{3}}[/mm]
>
> [mm]-\frac{1}{2} \int \frac{-2*(-v \pm \wurzel{3})}{1+v^2} \;dv = \int \frac{1}{y} \;dy[/mm]
>
> [mm]-\frac{1}{2} \int \left( \frac{(2}{1+v^2}-/+2\wurzel{3}*\frac{1}{1+v^2} \right) \;dv = \int \frac{1}{y} \;dy[/mm]
>
> [mm]-\frac{1}{2}ln|1+v^2| \pm \wurzel{3}*arctan(v)=ln|y|+C'[/mm]
>
> [mm]ln\left|1+\frac{x^2}{y^2} \right| -/+ 2\wurzel{3}*arctan\left( -\frac{x}{y} \right)+ln|y^2|=C[/mm]
>
> [mm]ln\left|x^2+y^2 \right| \pm 2\wurzel{3}*arctan\left( \frac{x}{y} \right)=C[/mm]
>
> [mm]\left(\frac{1}{2};\wurzel{\frac{3}{2}} \right)[/mm]
>
>
> Hier meine erste Frage. In der Lösung steht:
>
> [mm]ln\left|x^2+y^2 \right| \pm 2\wurzel{3}*arctan\left( \frac{y}{x} \right)=C[/mm]
>
> , also der Kehrwert im Argument des arctan;
Bei dieser Lösung wurde mit der Substitution [mm]y\left(x\right)=x*u\left(x\right)[/mm] gerechnet.
>
> und
>
> [mm]ln\left|x^2+y^2 \right| \pm 2\wurzel{3}*arctan\left( \frac{y}{x} \right)=\pm 2 \pi \frac{\wurzel{3}}{3}[/mm]
>
> , wobei ich C nicht nachvollziehen kann.
>
> Wenn ich einmal die Lösung des Buches hernehme und den
> gegebenen Punkt einsetze, so erhalte ich:
>
> [mm]ln\left|\frac{7}{4} \right| + 2\wurzel{3}*arctan\left( \wurzel{6} \right)=4,6583[/mm]
>
> und
>
> [mm]ln\left|\frac{7}{4} \right| - 2\wurzel{3}arctan\left( \wurzel{6} \right)=-3,5391[/mm]
>
>
> Habe ich mich verrechnet oder liegt ein Druckfehler im Buch
> vor?
Der Punkt, der da einzusetzen ist, lautet [mm]\left(\bruch{1}{2}, \ \bruch{\wurzel{3}}{2\right)[/mm].
Demnach ist das ein Druckfehler im Buch.
>
> Vielen Dank für's Drüberschauen.
>
> LG, Martinius
>
>
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
Danke für's Nachrechnen.
Gibt es nun 2 Lösungen:
$ [mm] ln\left|x^2+y^2 \right| \pm 2\wurzel{3}\cdot{}arctan\left( \frac{y}{x} \right)=C [/mm] $
$ [mm] ln\left|x^2+y^2 \right| \pm 2\wurzel{3}\cdot{}arctan\left( \frac{x}{y} \right)=C [/mm] $
, oder wie ist ihr Verhältnis zueinander? Ist eine falsch?
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> Hallo MathePower,
>
> Danke für's Nachrechnen.
>
> Gibt es nun 2 Lösungen:
>
> [mm]ln\left|x^2+y^2 \right| \pm 2\wurzel{3}\cdot{}arctan\left( \frac{y}{x} \right)=C[/mm]
>
> [mm]ln\left|x^2+y^2 \right| \pm 2\wurzel{3}\cdot{}arctan\left( \frac{x}{y} \right)=C[/mm]
>
> , oder wie ist ihr Verhältnis zueinander? Ist eine falsch?
Siehe hier: ![[]](/images/popup.gif) arctan - Funktionalgleichung
>
> LG, Martinius
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo MathePower,
vielen Dank für den Link.
Ich werde mir wohl doch eine neue Formelsammlung zulegen müssen; diese Beziehung steht nicht in meiner drin.
Ich denke an den Bronstein / Semendjajew.
LG, Martinius
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> Determine the curves passing through
> [mm]\left(\frac{1}{2};\wurzel{\frac{3}{2}} \right)[/mm] which cut
> each member of the family [mm]x^2+y^2=c^2[/mm] at an angle of 60°.
Hallo Martinius,
warum hast du bei dieser neuen, aber doch fast
gleichen Aufgabe nicht wieder an Polarkoordinaten
gedacht ? Damit geht es wieder deutlich einfacher
als in cartesischen Koordinaten.
Die Kurvenschar ist ja die Schar konzentrischer
Kreise um den Nullpunkt. Wenn diese Kreise
unter einem 60°-Winkel geschnitten werden
sollen, so werden die von O(0/0) ausgehenden
Radien unter dem Winkel 30° geschnitten.
Weil ein Punkt vorgegeben ist, kommen also
wieder zwei zueinander symmetrische logarith-
mische Spiralen heraus, die eine links rum, die
andere rechts rum gewickelt.
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:57 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo Al-Chwarizmi,
> > Determine the curves passing through
> > [mm]\left(\frac{1}{2};\wurzel{\frac{3}{2}} \right)[/mm] which cut
> > each member of the family [mm]x^2+y^2=c^2[/mm] at an angle of 60°.
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>
> Hallo Martinius,
>
> warum hast du bei dieser neuen, aber doch fast
> gleichen Aufgabe nicht wieder an Polarkoordinaten
> gedacht ? Damit geht es wieder deutlich einfacher
> als in cartesischen Koordinaten.
>
> Die Kurvenschar ist ja die Schar konzentrischer
> Kreise um den Nullpunkt. Wenn diese Kreise
> unter einem 60°-Winkel geschnitten werden
> sollen, so werden die von O(0/0) ausgehenden
> Radien unter dem Winkel 30° geschnitten.
> Weil ein Punkt vorgegeben ist, kommen also
> wieder zwei zueinander symmetrische logarith-
> mische Spiralen heraus, die eine links rum, die
> andere rechts rum gewickelt.
>
> LG Al-Chwarizmi
Ich hatte die Aufgabe auf beide Arten gerechnet - weil in der Lösung im Buch auch beide Lösungen angegeben waren.
Dank deiner Hilfe habe ich sogar eine Skizze für die DGL in Polarkoordinaten hinbekommen.
Es waren aber meine beide Ergebnisse falsch - wegen a) des Druckfehlers im Buch und b) wegen meiner nicht ausreichenden Formelsammlung.
Kannst Du eine Formelsammlung für Nichtmathematiker empfehlen? Was hälst Du vom Bronstein?
LG, Martinius
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