irreduzible Polynome < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Mi 11.01.2006 | | Autor: | dauwer |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle irreduziblen Polynome $f(X) [mm] \in \IF_{2}[X]~mit~Grad~f(X) \le [/mm] 4$ . |
Ich habe diese Aufgabe zu lösen und habe leider nicht ein mal einen Ansatz gefunden um sie zu lösen. Ich hoffe ihr könnt mir bei der Lösung helfen.
Danke,
dauwer
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1. Alle Polynome vom Grad 1 sind irreduzibel.
2. Wenn ein quadratisches Polynom reduzibel ist, muß es in zwei Linearfaktoren zerfallen und damit Nullstellen besitzen. Die irreduziblen quadratischen Polynome sind also diejenigen ohne Nullstellen.
3. Ein reduzibles kubisches Polynom muß aus Gradgründen mindestens einen Linearfaktor abspalten. Irreduzibel sind also diejenigen kubischen Polynome, die keine Nullstellen besitzen.
4. Wenn ein Polynom vom Grad 4 eine Nullstelle besitzt, so ist es reduzibel. Besitzt es keine Nullstellen, so könnte es noch in zwei irreduzible quadratische Polynome zerfallen. Die wurden aber schon in 2. bestimmt. Wenn einem nichts Besseres einfällt, könnte man die Polynomdivision durch jedes dieser irreduziblen quadratischen Polynome durchführen und schauen, ob sie aufgeht. Falls sie niemals aufgeht, ist das Polynom vom Grad 4 irreduzibel.
Fangen wir einmal an. Es gibt 4 quadratische Polynome
[mm]X^2, \ X^2+1, \ X^2 + X, \ X^2 + X + 1[/mm]
Als Beispiel nehmen wir [mm]X^2 + 1[/mm]. Wegen [mm]1^2 + 1 = 0[/mm] besitzt es eine Nullstelle, ist also reduzibel.
Und jetzt bist du dran ...
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