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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgenden Polynome irreduzibel sind.
a) [mm] X^4+3X^3+X^2-2X+1 \in \IQ[X]
[/mm]
b) Seien [mm] a_1,...,a_n [/mm] paarweise verschiedene positive ganze Zahlen,
[mm] p(X)=\produkt_{i=1}^{n}(X-a_i)^2+1\in\IQ[X] [/mm] |
Moin zusammen, wäre lieb von Euch wenn wir mir bei obiger Aufgabe weiterhelfen könnt.
zu a)
wenn [mm] X^4+3X^3+X^2-2X+1 \in \IQ[X] [/mm] reduzibel wäre, dann müsste ich es in Polynome vom Grad < 4 zerlegen können.
Dazu gibts zum einen folgende Möglichkeiten:
4=1+3=1+1+1+2=1+1+1+1
Das Polynom vom Grad 1 ist ja im Prinzip eine Nullstellle von [mm] X^4+3X^3+X^2-2X+1 \in \IQ[X] [/mm] um diese Fälle auszuschließen muss ich zeigen, dass [mm] X^4+3X^3+X^2-2X+1 \in \IQ[X] [/mm] keine Nullstellen besitzt. Aber wie kann ich das machen? Wäre lieb wenn ihr mir da einen Tipp geben könntet.
Zum anderen bleibt dann noch der Fall 4=2+2, also dass [mm] X^4+3X^3+X^2-2X+1 \in \IQ[X] [/mm] in [mm] (X^2+aX+b)*(X^2+cX+d)=X^4+(a+c)X^3+(b+ac+d)X^2+(ad+bc)X+bd [/mm] mit a,b,c,d [mm] \in \IQ [/mm] zerfällt. Hier hab ich über einen Koeffizientenvergleich und der Nichtlösbarkeit des entstehenden Gleichungssystems gezeigt, dass ich auch diesen Fall der Zerlegung auschließen kann.
zu b)
Kann ich hier einfach sagen: [mm] \produkt_{i=1}^{n}(X-a_i)^2+1\in\IQ[X] [/mm] hat keine Nullstellen weil [mm] \produkt_{i=1}^{n}(X-a_i)^2=-1 [/mm] nicht möglich ist, da auf der linken Seite nur Quadrate, also pos. Werte stehen?
Aber wie mach ich das mit den anderen möglichen Zerlegungen wie zB. 4=2+2?
DANKE für Eure Hilfe schon mal im Voraus und einen schönen Nikolaustag
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Di 06.12.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Zeigen Sie, dass die folgenden Polynome irreduzibel sind.
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> b) Seien [mm]a_1,...,a_n[/mm]
> paarweise verschiedene positive ganze Zahlen,
> [mm]p(X)=\produkt_{i=1}^{n}(X-a_i)^2+1\in\IQ[X][/mm]
> Moin zusammen, wäre lieb von Euch wenn wir mir bei obiger
> Aufgabe weiterhelfen könnt.
>
> [...]
> zu b)
> Kann ich hier einfach sagen:
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}(X-a_i)^2+1\in\IQ[X][/mm] hat keine
> Nullstellen weil [mm]\produkt_{i=1}^{n}(X-a_i)^2=-1[/mm] nicht
> möglich ist, da auf der linken Seite nur Quadrate, also
> pos. Werte stehen?
Das ist als Begründung denke ich ausreichend.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Mi 07.12.2016 | | Autor: | hippias |
Bedenke, dass [mm] $f\in \IZ[/mm] [t]$ genau dann irreduzibel in [mm] $\IZ[/mm] [t]$ ist, wenn $f$ irreduzibel in [mm] $\IQ[/mm] [t]$ ist.
zu a) Wenn Du zeigen möchtest, dass das Polynom keine rationalen Nullstellen hat, dann genügt es zu zeigen, dass es keine ganzen Nullstellen hat.
zu b) Nimm mal an, Du hättest zwei echte Teiler in [mm] $\IZ[/mm] [t]$: $p= gh$. Was kannst Du dann über [mm] $g(a_{i})$ [/mm] und [mm] $h(a_{i})$ [/mm] sagen? Was ist mit [mm] $p(a_{i})$ [/mm] und [mm] $\left(g(a_{i})\right)^{2}$ [/mm] und [mm] $\left(h(a_{i})\right)^{2}$?
[/mm]
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