irreduzibel und Primelement < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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In der Vorlesung zur Linearen Algebra II haben wir folendes Beispiel aufgeführt um Irreduzibilität und Prim zu beweisen.
Beispiel: 2 ist irreduzibel in [mm] \IZ[\wurzel{-5}]
[/mm]
wir haben das so aufgebaut:
[mm] (a+b\wurzel{-5})*(x+y\wurzel{-5})=2
[/mm]
[mm] (a-b\wurzel{-5})*(x-y\wurzel{-5})=2
[/mm]
* [mm] (a^2+5b^2)(x^2+5y^2)= [/mm] 4 daraus folgt ja die Irreduzubilität
Ähnlich geht ja der nachweis des Primelement
ich verstehe nur nicht, wie man auf einen Schritt kommt:
2 ist kein Primelement
zz: 1) 2 teilt nicht [mm] (1+\wurzel{-5}),
[/mm]
2) 2 teilt nicht [mm] 1-\wurzel{-5}
[/mm]
und 3) 2 teilt [mm] (1+\wurzel{-5})*(1-\wurzel{-5})
[/mm]
und bei 3 gilt 2*3=6 [mm] =(1+\wurzel{-5})*(1-\wurzel{-5}) [/mm] wie kommt man auf die 3? ist diese beliebig gewählt? 2 ist klar
ich bin schon am verzweifeln! Vielen Dank im Voraus für Eure Hilfe! LG Johnny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Do 07.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> In der Vorlesung zur Linearen Algebra II haben wir folendes
> Beispiel aufgeführt um Irreduzibilität und Prim zu
> beweisen.
>
> Beispiel: 2 ist irreduzibel in [mm]\IZ[\wurzel{-5}][/mm]
> wir haben das so aufgebaut:
>
> [mm](a+b\wurzel{-5})*(x+y\wurzel{-5})=2[/mm]
> [mm](a-b\wurzel{-5})*(x-y\wurzel{-5})=2[/mm]
>
> * [mm](a^2+5b^2)(x^2+5y^2)=[/mm] 4 daraus folgt ja die
> Irreduzubilität
>
> Ähnlich geht ja der nachweis des Primelement
>
> ich verstehe nur nicht, wie man auf einen Schritt kommt:
>
> 2 ist kein Primelement
> zz: 1) 2 teilt nicht [mm](1+\wurzel{-5}),[/mm]
> 2) 2 teilt nicht [mm]1-\wurzel{-5}[/mm]
> und 3) 2 teilt [mm](1+\wurzel{-5})*(1-\wurzel{-5})[/mm]
>
> und bei 3 gilt 2*3=6 [mm]=(1+\wurzel{-5})*(1-\wurzel{-5})[/mm] wie
> kommt man auf die 3? ist diese beliebig gewählt? 2 ist
> klar
>
> ich bin schon am verzweifeln! Vielen Dank im Voraus für
> Eure Hilfe! LG Johnny
Es ist
[mm] $(1+\wurzel{-5})*(1-\wurzel{-5})=6=2*3$
[/mm]
Somit ist 2 ein Teiler von [mm](1+\wurzel{-5})*(1-\wurzel{-5})[/mm]
FRED
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Aber woher kommt die 3 und warum =6?
LG Johnny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Do 07.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Aber woher kommt die 3 und warum =6?
$ [mm] (1+\wurzel{-5})\cdot{}(1-\wurzel{-5})=1^2-(\wurzel{-5})^2=1-(-5)=6 [/mm] $
Das erste "=" ist Binomi.
Weiter ist 6=2*3
FRED
>
> LG Johnny
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