invertierbare Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Steffi21 |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in [/mm] M(n,n;R) definiert durch A = I + [mm] \lambda [/mm] (Eij-Eji) (i [mm] \not=j). [/mm] Für welche [mm] \lambda [/mm] ist A invertierbar? Berechnen Sie in diesem Fall die Inverse. Für welche [mm] \lambda [/mm] ist A diagonalisierbar?
|
Guten Morgen,
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich kann zu einer gegebenen Matrix die Inverse berechnen, mir ist klar, es gibt nur die Inverse, wenn det [mm] \not= [/mm] 0. Bei (Eij-Eji) (i [mm] \not=j) [/mm] sollte es sich um die Einheitsmatrix handeln, die nur in der Diagonale die Ziffern 1 hat. I sollte die inverse Matrix zu A sein. Ich habe mir eine konkrete Matrix A vorgegeben, I berechnet und versucht, [mm] \lambda [/mm] (Eij-Eji) zu finden. Erbitte eine Idee, um diese allgemein gestellte Aufgabe lösen zu können.
Danke Steffi21
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Steffi,
du hast geschrieben "I sollte die Inverse von A sein". Ist das sicher, oder hast du da etwas geraten? Weil wenn A unter anderem durch seine Inverse definiert ist, (in der Aufgabenstellung steht A definiert durch...), dann verwirrt mich das etwas (so ne Art rekursive Definition? Für mich macht es keinen Sinn). Und bist du auch sicher, dass es sich bei [mm] (E_{ij}-E_{ji}) [/mm] um die Einheitsmatrix handelt? Ich kenne E als Einheitsmatrix und wenn Indizes dabeistehen, war es bei uns immer ein bestimmer Eintrag der Matix (also der i-ten Zeile, j-ten Spalte).
Check das mal ab bitte.
L G walde
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Steffi21 |
Mir ist klar, dass eine Matrix nicht durch ihre Inverse definiert sein kann, die Aufgabenstellung ist handschriftlich, durch kopieren entsteht ein weiterer Qualitätsverlust, A = I (???), für mich ist es ein großes I, römisch 1 ist erst recht sinnlos,
mfg St
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Walde |
Tja, das ist ein Problem bei dem ich dir nicht helfen kann. Ohne korrekte Aufgabenstellung...
I könnte übrigens auch für Identität, also Einheitsmatrix stehen. Was könnte den das [mm] E_{ij}-E_{ji} [/mm] bedeuten? Haste da noch ne Idee?
LG walde
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Mi 12.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ich wuerde standardmaessig mal von folgendem ausgehen:
I ist einheitsmatrix und [mm] E_{i,j} [/mm] ist die Nullmatrix bis auf die Stelle (i,j), denn dort steht eine 1
zu sehen ist sowas auch auf Wiki : ![[]](/images/popup.gif) Elementarmatrix
(siehe def von Ri,j)
viele Gruesse
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Mi 12.04.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Steffi!
> Sei A [mm]\in[/mm] M(n,n;R) definiert durch A = I + [mm]\lambda[/mm]
> (Eij-Eji) (i [mm]\not=j).[/mm] Für welche [mm]\lambda[/mm] ist A
> invertierbar? Berechnen Sie in diesem Fall die Inverse. Für
> welche [mm]\lambda[/mm] ist A diagonalisierbar?
Eij hat in der i-ten Zeile und in der j-ten Spalte eine 1 und sonst lauter Nullen, I ist die Einheitsmatrix.
Dann hat A Einsen in der Diagonalen, ein Lambda neben der Diagonalen und spiegelbildlich dazu ein minusLambda. Jetzt kann man die Det. von A ausrechnen: 1 + LambdaQuadrat
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Mi 12.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> Diagonalen und spiegelbildlich dazu ein minusLambda. Jetzt
> kann man die Det. von A ausrechnen: 1 + LambdaQuadrat
[m]1-\lambda^2[/m]
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 Mi 12.04.2006 | | Autor: | statler |
Hey Eckhard,
mein Bsp. ist [mm] \pmat{ 1 & \lambda \\ -\lambda & 1 }
[/mm]
und jetzt kommst du
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Mi 12.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> Hey Eckhard,
>
> mein Bsp. ist [mm]\pmat{ 1 & \lambda \\ -\lambda & 1 }[/mm]
Ich hasse Vorzeichen - ich hab mir eingebildet, da würde kein "-" stehen bei der Definition.
Mea culpa.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Steffi21 |
Danke, die Deteminante ist also [mm] 1-\lambda^2, [/mm] ich habe es für eine 2x2, 3x3 und 4x4 Matrix nachvollzogen, mache jetzt [mm] 1-\lambda^2=0, [/mm] also ist für alle [mm] \lambda [/mm] außer 1 und -1 die Determinante ungleich Null, somit gibt es die Inverse. Die Inverse habe ich nach Gauß ebenfalls berechnet. Jetzt entsteht noch die Frage, wie kann ich diesen Algorithmus allgeim darstellen, gültig für alle nxn Matrizen?
mfg St
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Mi 12.04.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo Steffi,
nein, die Determinante ist [mm] $1+\lambda^2$! [/mm] Nach einiger Verwirrung war das das ergebnis.
VG
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Steffi21 |
Zur Elementarmatrix:
z.B. i=2, j=3
E23 (2. Zeile, 3. Spalte) steht 1
-E32 (3.Zeile, 2. Spalte) steht -1,
sonst überall Null,
somit ist mir endgültig klar, dass doch [mm] det=1+\lambda^2 [/mm] ist
Danke
mfg
St
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Do 13.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi Steffi,
mal ein Ansatz, der für mich im Fall nxn recht erfolgsversprechend aussieht:
Mache Induktion nach n : deine gegebene Matrix hat für den Fall [mm] $n\ge [/mm] 3$ die Eigenschaft, dass es eine Zeile geben muss, in der kein Lambda steht, sondern nur eine einzige 1 (auf der Diagonalen)
Wenn du nach dieser Zeile mal die Determinante entwickelst, dann erhälst du als Wert der Determinante [mm] $\det(A)=+1*(A')$ [/mm] wobei A' jetzt eine (n-1)x(n-1) Matrix ist mit den selben Eigenschaften für die Lambdas (nur i und j können eins kleiner sein, aber dies ist unwichtig).
[Beachte, dass das Vorzeichen der Diagonalelmente beim Laplaceschen Entwicklungssatz immer positiv ist]
D.h. du kannst dann deine Induktionsvorrausetzung anwenden und bist schon fertig.
Also :
Induktionsanfang : n=2
danach im Induktionsschritt schnell mal zeigen, dass A' dieselben Bedingungen erfüllt und dann Induktionsvorraussetzung anwenden..
viele Grüße + frohe Ostern
DaMenge
|
|
|
|
