invertierbare Elemente < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Di 08.01.2013 | | Autor: | pestaiia |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle invertierbaren Elemente (bzgl. der Multiplikation) in [mm] \IZ/21\IZ [/mm] , [mm] \IZ/63\IZ [/mm] und [mm] \IZ/49\IZ. [/mm] |
Hallo Leute,
war in der letzten Vorlesung leider nicht da und kann deshalb diese Aufgabe nicht lösen. Les mir gerade das Skript durch, aber wirklich kapiert habe ich noch nichts. Nicht malwas Restklassen sind...
Würde mich sehr freuen, wenn jemand Lust hätte sein Wissen mit mir zu teilen !
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Hallo pestaiia,
na, da solltest Du erstmal selbst ein bisschen recherchieren!
> Bestimmen Sie alle invertierbaren Elemente (bzgl. der
> Multiplikation) in [mm]\IZ/21\IZ[/mm] , [mm]\IZ/63\IZ[/mm] und [mm]\IZ/49\IZ.[/mm]
> Hallo Leute,
> war in der letzten Vorlesung leider nicht da und kann
> deshalb diese Aufgabe nicht lösen. Les mir gerade das
> Skript durch, aber wirklich kapiert habe ich noch nichts.
> Nicht malwas Restklassen sind...
Da musst Du anfangen. Der ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel ist ganz gut und verständlich, und hier gibts eine gute Erklärung für "Dummies".
> Würde mich sehr freuen, wenn jemand Lust hätte sein
> Wissen mit mir zu teilen!
Hier wird es um Teilbarkeit gehen, aber auch um Ringe. Hast Du sowas drauf? Sonst würde ich auch das nachschlagen.
Wenn Du soweit bist, dann frag Dich mal, warum in [mm] \IZ/21\IZ [/mm] die 10 und die 13 invertierbar sind, die 9 und die 14 aber nicht.
Das Inverse von 10 ist 19, das von 13 ist 13.
Und wenn Du bis dahin alles nachvollziehen kannst, dann kannst Du ja mal mit einem Lösungsversuch für Deine Aufgabe wiederkommen. 
Viel Erfolg!
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Di 08.01.2013 | | Autor: | pestaiia |
Vielen Dank! habe mich jetzt etwas schlau gemacht...
meine Lösung für 21:
1, 8, 13 und 20 sind selbstinvers
1 hat die inverse 20
2 hat die inverse 11
4 hat die Inverse 5
16 die 17
und 10 die 19
stimmt das soweit?
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>
> Aber ich hab jetzt ein problem bei 49 und 63...
> hab nämlich für 21 einfach alle Zahlen von 0 bis 20
> aufgeschrieben und die Zahlen, die nicht teilerfremd sind
Aha "311 ist teilerfremd"?!
> weggestrichen. Zum Beispiel alle Vielfachen von 3.
> Und bei den zahlen die übrig geblieben sind hab ich durch
> probieren herausgefunden ob sie selbstinvers sind oder
> nicht.
Es geht hier nur um invertierbar und nicht um selbstinverse Elemente.
> Das ist nicht schwer aber für größere Zahlen wie 63
> ganz schön aufwendig.
>
> Gibt es da einen einfacheren Weg um auf die invertierbaren
> Elemente zu kommen?
> >
Wir betrachten [mm]\IZ/63\IZ[/mm] und suchen Elemente [mm]x+63\IZ\in \IZ/63\IZ[/mm] für die gilt:
"Es gibt [mm]y+63\IZ\in \IZ/63\IZ[/mm] mit [mm](y+63\IZ)(x+63\IZ)=yx+63\IZ=1+63\IZ[/mm]."
Mit anderen Worten muss gelten
[mm]y\cdot x = 1 + 63k[/mm] also [mm]\blue{1\equiv y\cdot x \mod 63}[/mm]
Es gilt hier unter der Vorraussetzung ____________ (*)
[mm]ggT(x,63)=\blue{1}=s*x+t*63 \blue{ \equiv s*x \mod 63}[/mm]
Also hat man ein solches y gefunden.
Wenn du die Vorraussetzung (*) hast, so kann man die invertierbaren Elemente ablesen.
gruß
wieschoo
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
