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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 So 14.06.2009 | | Autor: | AriR |
hey leute
sei eine matrix A mit lin.unabh spalten ggb, dann gillt ja, dass [mm] A^T*A [/mm] invertierbar ist (ich denke mal eingeschränkt auf ihrem bild).
dies würde aber auch bedeuten, dass die spalten von [mm] A^T*A [/mm] wieder lin.unabh sind oder?
wenn ja, kann mir evtl einer sagen warum dies so ist?
danke :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 So 14.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
wenn A invertierbar ist, so ist auch [mm] A^T [/mm] invertierbar und es gilt
[mm] (A*A^T)^{-1 }=(A^T)^{-1}*A^{-1}=(A^{-1})^T*A^{-1}.
[/mm]
Also sind die Spaltenvektoren (bzw. Zeilenvektoren) der Matrix [mm] A^T*A [/mm] linear unabhängig (ansonsten wäre die Matrix nicht invertierbar - aber wir haben ja gezeigt, dass die Inverse von [mm] A*A^T [/mm] der Matrix [mm] (A^{-1})^T*A^{-1} [/mm] entspricht!).
Zwar kein formaler Beweis, aber vielleicht trägt es zum Verständnis bei.
Gruß barsch
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