inverse Matrix in Z < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Fr 24.10.2008 | | Autor: | biti |
| Aufgabe | Betrachte die Matrix A [mm] :=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0}
[/mm]
Bestimme die Inverse von A über den folgenden Ringen : Z, Q, [mm] Z_{26} [/mm] und [mm] Z_{30}. [/mm] |
Wie man die Inverse in Q bestimmt ist mir klar.
[mm] A^{-1}=\pmat{ -16/9 & 8/9 & -1/9 \\ 14/9 & -7/9 & 2/9 \\ -1/9 & 2/9 & -1/9}
[/mm]
Aber wie mache ich das in Z, [mm] Z_{26} [/mm] und [mm] Z_{30}? [/mm] Wie teile ich z.B. in Z 3 durch 17? Ich stehe gerade völlig auf dem Schlauch...
Wann berechne ich in [mm] Z_{26} [/mm] und [mm] Z_{30} [/mm] das modulo 26 bzw 30?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Fr 24.10.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Betrachte die Matrix A [mm]:=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0}[/mm]
>
> Bestimme die Inverse von A über den folgenden Ringen : Z,
> Q, [mm]Z_{26}[/mm] und [mm]Z_{30}.[/mm]
> Wie man die Inverse in Q bestimmt ist mir klar.
> [mm]A^{-1}=\pmat{ -16/9 & 8/9 & -1/9 \\ 14/9 & -7/9 & 2/9 \\ -1/9 & 2/9 & -1/9}[/mm]
>
> Aber wie mache ich das in Z,
eine 'Matrix ist über [mm] $\IZ$ [/mm] nur dann invertierbar, wenn die Determinante 1 oder -1 ist.
In diesem Fall invertierst du wie gewohnt. Die Inverse ist dann auch ganzzahlig.
> [mm]Z_{26}[/mm] und [mm]Z_{30}?[/mm] Wie teile
> ich z.B. in Z 3 durch 17? Ich stehe gerade völlig auf dem
> Schlauch...
Eine Division in einem Restklassenring entspricht der Multiplikation mit dem entsprechenden inversen Element. Mache dir also zuerst eine Liste aller Elemente mit den zugehörigen Inversen. Dann kannst du rechnen wie gewohnt. Die Inverse existiert in diesem Fall nur dann, wenn die Determinante invertierbar ist.
Eine einfache und praktische Methode führt über die sog. Adjunkte.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Fr 24.10.2008 | | Autor: | biti |
Vielen Dank, ich glaube, ich habe es jetzt verstanden!!
Meine Ergebnisse:
über Z: nicht invertierbar, da detA=27
über [mm] Z_{30}: [/mm] nicht invertierbar, da det=27 und 27 in [mm] Z_{30} [/mm] nicht invertierbar (?)
über [mm] Z_{26}: A^{-1}=\pmat{ 4 & 24 & 23 \\ 16 & 5 & 6 \\ 23 & 6 & 23 }
[/mm]
Gibt es eigentlich ein Programm oder eine Seite mit Applet, wo man die Ergebnisse überprüfen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Sa 25.10.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
alles richtig.
Eine Seite im Web kenne ich dazu nicht.
Aber es gibt für so etwas ja Computeralgebrasysteme.
LG
Will
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