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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Grubert |
Hi, es kann ja irgendwie an meinem schlechten Tag liegen, aber ich bekomme folgende Matrix in inverser Form:
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 } [/mm] ...
Ich weiß, dass folgendes rauskommt:
[mm] \pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2} }
[/mm]
Aber wie komme ich darauf? Ich meine die einzelnen Schritte. Es wäre schön, wenn ich Hilfe bekäme. Es würde mir reichen nur die einzelnen Schritte in Kurzform zu notieren. Denn ich weiß, dass man einen Knall bekommen kann,wenn man die Matrizen einzeln aufschreiben muss...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Grubert!
Nehmen wir an, es sei eine (reguläre) [mm] $n\times [/mm] n$ Matrix $A$ gegeben, deren Inverse Matrix [mm] $A^{-1}$ [/mm] zu bestimmen ist. Für diese Inverse Matrix gilt dann nach Definition [mm] $A\cdot A^{-1} [/mm] = E$, wobei $E$ die Einheitsmatrix ist. Multipliziert man beide Seiten linksseitig mit Elementarmatrizen, so entspricht dies einer gleichartigen elementaren Zeilenoperation auf der Matrix $A$ und der Matrix $E$, welche zur äquivalenten Gleichung [mm] $A_1\cdot A^{-1} [/mm] = [mm] E_1$ [/mm] führt. Man kann nun wieder mit einer geeigneten Elementarmatrix (linksseitig) multiplizieren, um an [mm] $A_1$ [/mm] eine elementare Zeilenoperation durchzuführen. Auf diese Weise kann man $A$ schrittweise in die Einheitsmatrix $E$ überführen. Da man bei den vorgenommen Schritten $t$ Schritten stets die Matrix auf der rechten Seite gleichartig mit-bearbeitet hat, erhält man schließlich die äquivalente Gleichung [mm] $A_t\cdot A^{-1}=E\cdot A^{-1} [/mm] = [mm] E_t$, [/mm] d.h. [mm] $E_t$ [/mm] ist genau das gesuchte Inverse von $A$.
Ich führe dir dieses eher theoretisch anmutende Verfahren mal an deinem Beispiel vor - es ist wirklich viel leichter und praktischer, als es sich in der Theorie anhört. Es ist jedoch wichtig, dass du weißt, dass du die Zeilenumformungen wirklich durchführen darfst, da sie lediglich Linksmultiplikationen mit Elementarmatrizen entsprechen.
Also, wir starten bei
[mm] $\pmat{1 & 1 \\ 1 & -1} A^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}$.
[/mm]
Wir subtrahieren nun die erste von der zweiten Zeile und erhalten
[mm] $\pmat{1 & 1 \\ 0 & -2 } A^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{1 & 0 \\ -1 & 1}$.
[/mm]
Nun multiplizieren wir die erste Zeile mit 2:
[mm] $\pmat{2 & 2 \\ 0 & -2 } A^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{2 & 0 \\ -1 & 1}$.
[/mm]
Nun addieren wir die zweite zur ersten Zeile
[mm] $\pmat{2 & 0 \\ 0 & -2 } A^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{1 & 1 \\ -1 & 1}$.
[/mm]
Nun teilen wir die erste Zeile durch 1, die zweite durch -1 und erhalten
[mm] $\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1 } A^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}}$,
[/mm]
also [mm] $A^{-1} =\pmat{\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}}$,
[/mm]
was zu zeigen war.
Hast du verstanden, wie das Verfahren funktioniert? Am besten du nimmst dir einmal eine reguläre [mm] $3\times [/mm] 3$ Matrix und versuchst diese, mit dem Verfahren zu invertieren. Mit ein wenig Übung geht das ganz schnell, denn schließlich musst die Matrix $A$ nur in die Einheitsmatrix umwandeln, und das geht über den Gaußschen Algorithmus sehr schnell.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:54 So 23.10.2005 | | Autor: | Grubert |
Danke, für die Mühe.
Aber noch eins: muss bei der letzten Umformung nicht durch 2 bzw. -2 geteilt werden. Du hast 1 bzw. -1 geschrieben?!
Danke noch einmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:05 So 23.10.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
da hast du recht. das wird wohl ein tipfehler sein.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 So 23.10.2005 | | Autor: | Grubert |
Danke, noch eins. Im letzten Schritt haben wir einfach durch 2 bzw. -2 dividiert. Jetzt mal allgemein: Wenn ich dieses bei Determinanten machen würde,dann müsste ich das "außen" durch *2 bzw. *(-2) ausgleichen,richtig?
Wenn ich natürlich die rechenweise bei Umformungen zwischen Matrizen und Determinanten (bspw. bei Gauß) vergleiche...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 So 23.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ja, das ist richtig. Entsteht $A'$ aus $A$ dadurch, dass ich eine Zeile durch [mm] $\lambda$ [/mm] teile, dann gilt:
[mm] $\det(A) [/mm] = [mm] \lambda \cdot \det(A')$.
[/mm]
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]") Aufgepasst! Es gilt aber: [mm] $\det(\lambda \cdot [/mm] A) = [mm] \lambda^n \cdot \det(A)$, [/mm] d.h. wenn die ganze Matrix mit [mm] $\lambda$ [/mm] multipliziert wird, zieht sich der Faktor als [mm] $\lambda^n$ [/mm] raus (eben, weil die Determininante multilinear ist).
Liebe Grüße
Stefan
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