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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Mo 05.12.2005 | | Autor: | trixi86 |
Hallo zusammen!!
ich sitzt gerade vor einer aufgabe und komme nicht so richtig voran.
die aufgabe lautet:
Sei A = (aij) eine invertierbare n × n -Matrix mit Koeffizienten aij [mm] \in \IZ. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] A^{-1} [/mm] hat Koeffizienten in [mm] \IZ \gdw [/mm] det(A) [mm] \in [/mm] {1, +1}.
ich habe versucht diese aussage zu beweisen, indem ich die formel
[mm] \bruch{1}{detA} [/mm] (AdjA) benutzthabe. wenn man nun die bedingung,
det(A) [mm] \in [/mm] {−1, +1}. benutzt sieht man, dass der bruch [mm] \bruch{1}{detA} [/mm] entweder 1 oder -1 wird und weil die einträge der (AjaA) aus [mm] \IZ [/mm] sind, sind auch die einträge der [mm] A^{-1} [/mm] aus [mm] \IZ. [/mm] allerdings weiß ich nicht ob dies als beweis gilt und wie ich das am besten aufschreibe.
muss ich außerdem auch die andere richtung beweisen?dass wenn [mm] A^{-1} [/mm] koeffizienten in [mm] \IZ [/mm] hat die determinante entweder 1 oder -1 ist??wenn ja wie zeige ich das am besten??
danke schon im voraus!!!
gruß trixi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Mo 05.12.2005 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei A = (aij) eine invertierbare n × n -Matrix mit
> Koeffizienten aij [mm]\in \IZ.[/mm] Zeigen Sie:
>
> [mm]A^{-1}[/mm] hat Koeffizienten in [mm]\IZ \gdw[/mm] det(A) [mm]\in[/mm] {1, +1}.
>
> ich habe versucht diese aussage zu beweisen, indem ich die
> formel
> [mm]\bruch{1}{detA}[/mm] (AdjA) benutzthabe. wenn man nun die
> bedingung,
> det(A) [mm]\in[/mm] {−1, +1}. benutzt sieht man, dass der
> bruch [mm]\bruch{1}{detA}[/mm] entweder 1 oder -1 wird und weil die
> einträge der (AjaA) aus [mm]\IZ[/mm] sind, sind auch die einträge
> der [mm]A^{-1}[/mm] aus [mm]\IZ.[/mm] allerdings weiß ich nicht ob dies als
> beweis gilt und wie ich das am besten aufschreibe.
Doch, das ist ein Beweis. Du musst es halt nur gut aufschreiben 
Etwa so: Da $A$ nur ganzzahlige Eintraege hat, und zur Berechnung der Determinante nur die Operationen $+$, $-$ und [mm] $\cdot$ [/mm] verwendet werden, ist [mm] $\det [/mm] A [mm] \in \IZ$. [/mm] Aus dem gleichen Grund hat [mm] $\mathop{\mathrm{Adj}} [/mm] A$ nur Eintraege in [mm] $\IZ$. [/mm] ...
> muss ich außerdem auch die andere richtung beweisen?
Natuerlich.
> dass wenn [mm]A^{-1}[/mm] koeffizienten in [mm]\IZ[/mm] hat die determinante
> entweder 1 oder -1 ist??wenn ja wie zeige ich das am
> besten??
Es ist [mm] $\det(A [/mm] B) = [mm] \det(A) \det(B)$ [/mm] und die Determinante der Einheitsmatrix ist 1. Jetzt nimm fuer $B$ mal [mm] $A^{-1}$. [/mm] Faellt dir was auf?
HTH & LG Felix
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