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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Kueken |
Hi!
Ich hab hier einen Satz gelesen. bei dem geht es um einen linearen Teilraum der invariant unter einer Abbildung sein soll. Die Aussage des Satzes an sich ist eigentlich klar. Aber ich habe gemerkt, dass ich keinen Plan davon habe, was ein invarianter Teilraum ist. Vor allem das kleine Wörtchen invariant...
Ich hab das schon mal gehört, aber ich weiß nicht wo...
Wäre super, wenn mir da einer auf die Sprünge helfen könnte.
Vielen Dank und Viele Grüße
Kerstin
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moin,
Zu aller erst mal was zum selber lesen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Invariante_%28Mathematik%29
Hiernach ist eine Invariante eine Größe, die sich (bezüglich einer bestimmten Funktion) nicht ändert.
In deinem Fall würde das heißen: Sei U dein Teilraum, f deine Abbildung unter der U invariant sein soll, dann ist f(U) = U.
Ein Beispiel wäre die Identität, die schickt eh alles auf sich selbst (und es bleibt somit unverändert) oder man könnte als Beispiel auch eine orthogonale Projektion nehmen, da hat man sogar nen Teilraum auf dem sie invariant ist und es passt recht schön zu deiner Frage.^^
Hoffe das hilft dir. ;)
MfG
Schadowmaster
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Kueken |
Ja super, alles klar :)
Danke dir!
Viele Grüße
Kerstin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 Mi 20.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hiernach ist eine Invariante eine Größe, die sich
> (bezüglich einer bestimmten Funktion) nicht ändert.
> In deinem Fall würde das heißen: Sei U dein Teilraum, f
> deine Abbildung unter der U invariant sein soll, dann ist
> f(U) = U.
In der linearen Algebra meint man damit jedoch meist $f(U) [mm] \subseteq [/mm] U$.
Man kann das auch anders formulieren: ein $f$-invarianter Untervektorraum $U$ ist ein Untervektorraum mit der Eigenschaft, dass sich $f$ zu einem Endomorphismus von $U$ einschraenken laesst, d.h. es gibt ein $g : U [mm] \to [/mm] U$ mit $g(u) = f(u)$ fuer alle $u [mm] \in [/mm] U$. Das geht offenbar genau dann, wenn $f(U) [mm] \subseteq [/mm] U$ gilt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Kueken |
Hi Felix,
ich hab ehrlich gesagt gar nicht gemerkt, dass da ein Gleichheitszeichen stand... mein Hirn hat Teilmenge gelesen ^^
Ok, also ist es letztlich so, dass ich eine Abbildung f auf einem Raum, sagen wir V habe und auf einen Untervektorraum abbilde. Sagen wir v ist [mm] R^{3} [/mm] und U ist die x-Achse. f ist die Projektion auf die x-Achse. Dann würde die x-Achse auf sich selbst abgebildet. Also ist der Unterraum "x-Achse" f-invariant. Richtig so? Die Einschränkung wäre dann, dass ich auch gleich die x-Achse auf sich selbst abbilden kann.
LG und Vielen Dank
Kerstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Mi 20.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Kerstin,
> ich hab ehrlich gesagt gar nicht gemerkt, dass da ein
> Gleichheitszeichen stand... mein Hirn hat Teilmenge gelesen
> ^^
> Ok, also ist es letztlich so, dass ich eine Abbildung f
> auf einem Raum, sagen wir V habe und auf einen
> Untervektorraum abbilde. Sagen wir v ist [mm]R^{3}[/mm] und U ist
> die x-Achse. f ist die Projektion auf die x-Achse. Dann
> würde die x-Achse auf sich selbst abgebildet. Also ist der
> Unterraum "x-Achse" f-invariant. Richtig so? Die
> Einschränkung wäre dann, dass ich auch gleich die x-Achse
> auf sich selbst abbilden kann.
genau. Und eingeschraenkt auf die $x$-Achse ist die Projektion gleich der Identitaet.
Wenn du dagegen die $yz$-Ebene anschaust, die ist ebenfalls $f$-invariant. $f$ eingeschraenkt auf die $yz$-Ebene ist jedoch die Nullabbildung.
Allgemein sind die Eigenraeume einer linearen Abbildung (und alle Unterraeume der Eigenraeume) invariant unter dieser.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Kueken |
Ok, super, Danke :)
Wieder was dazu gelernt...
LG
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