invar.teiler & weierstraß form < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Di 24.06.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | | Sei A = [mm] \pmat{ -2 & 1 & -2 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & -4 & 1 & -1 } \in M_4(\IR). [/mm] Berechne Invariantenteiler sowie die Weierstraß'sche Normalform. |
Hi zusammen,
also ich hab hftl die Inv.teiler richtig ausgerechnet, durch elem. Zeilen/Spaltenumformungen komm ich letzendlich auf [mm] c^1_A=1 [/mm] = [mm] c^2_A [/mm] , [mm] c^3_A=x^2+x+1, c^4_A=(x^2+x+1)^2 [/mm] heraus und wollt fragen, ob jemand dies bestätigen kann.
Nur mit der Weierstraß'schen Normalform hab ich bissle Probleme.... Gesetz des falles, dass meine berechnungen stimmen, ergeben sich ja zu den 4 Polynomen oben folgende Begleitmatrizen:
[mm] B_1=B_2= \pmat{1} [/mm] ; [mm] B_3=\pmat{0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1} [/mm] und [mm] B_4 [/mm] = [mm] \pmat{0&0&0&0&1 \\1&0&0&0&1 \\0&1&0&0&1 \\0&0&1&0&1 \\0&0&0&1&1 }
[/mm]
damit dann die matrix B = [mm] \pmat{B_1 &0 &0 &0 \\ 0&B_2&0&0 \\0&0&B_3 &0 \\ 0&0&0&B_4} [/mm] ???
ansonsten wüsst ich nicht wie die begleitmatrizen zu den jew. invariantenteilern aussehen :-/
danke schonmal im voraus!! :)
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 Di 24.06.2008 | | Autor: | eumel |
die letzte matrix sollte glaub ich
[mm] B_4=\pmat{0&0&0&0&1 \\1&0&0&0&2 \\0&1&0&0&3 \\0&0&1&0&2 \\0&0&0&1&1 }
[/mm]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:22 Di 24.06.2008 | | Autor: | anjka82 |
HAllo,
ich habe d. gleiche Aufgabe zu lösen=)
kannst du mir erklären wie du suf Inv.teiler kommst?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 26.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 Di 24.06.2008 | | Autor: | michivbs |
Hi, du solltest hier noch anfügen, dass du die Determinantenteiler der Charakteristischen Matrix XE-A meinst... ich denk das geht aus lorenz Notation nicht direkt hervor.
btw. fände ich es auch interessant wie du auf die Invariantenteiler gekommen bist. (hast du echt das ganze Ding mit elemen. Umformungen Diagonalisiert ... bei mir wird das extrem unübersichtlich nach wenigen Umformungen)
mfG Michi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Di 24.06.2008 | | Autor: | eumel |
hi ihr zwei :)
also ich hab das so ähnlich gemacht wie lorenz es auf seite 152 gemacht hat, bei wurd es relativ unübersichtlich.... n kollege meinte, dass der letzte inv.teiler auch nur [mm] (x^2+x+1) [/mm] ist, obwohl ich immer noch der meinung bin es ist [mm] (x^2+x+1)^2..... [/mm] hab von der char.matr. die letzte zeile nach vorne geholt, dann nach einander erst die einträge von a_12 bis a_14 eleminiert, dann von a_21 bis a_14. danach die von a_23 und a_24, analog mit a_32 und a_42. und so weiter, bis man letzendlich auf so eine form kommt.
lieben gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Di 24.06.2008 | | Autor: | michivbs |
Hi, also dein Kumpel müsste recht haben. Habe mit Computerunterstützung mal das Char.Pol. ausgerechnet ( kam [mm] (x^2+x+1)^2 [/mm] raus) und Minimalpolynom ist [mm] x^2+x+1.
[/mm]
Dann hat man es ja... jetzt nurnoch richtig aufschreiben ^^ (per Hand das Char.Pol. und dann den Minimalpolynom Test durchführen ist denk ich zu aufwendig).
EDIT:
Es würde auch reichen [mm] (d_A)^3 \not= [/mm] 1 (oder = [mm] x^2+x+1) [/mm] zu zeigen... denk ich anstatt das MiPo zu finden.
Alles so viel arbeit... ^^
mfG Michi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:00 Di 24.06.2008 | | Autor: | michivbs |
Hi... lass dich von mir nicht verunsichern... hab nicht beachtet dass das Ding über [mm] M_4(\IR) [/mm] ist. Dann zerfällt nämlich [mm] (x^2+x+1)^2 [/mm] über [mm] \IR [/mm] garnicht in Faktoren. Daher ist [mm] c_A^{4} [/mm] tatsächlich [mm] (x^2+x+1)^2 [/mm] und der rest muss ja dann 1 sein... (wenn ich nicht noch mehr Fehler gemacht habe)
mfG Michi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mi 25.06.2008 | | Autor: | michivbs |
sollte man kein mathe machen, ersteres war richtig... bzw. ka was richtig ist. n8
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Hi,
ich habe jetzt den Algo aus lorenz Buch durchgeführt und bin auf [mm] c_A^{1}=c_A^{2} [/mm] = 1 und [mm] c_A^{3}=c_A^{4}=x^2+x+1 [/mm] gekommen.
Die Begleitmatrix hab ich als [mm] B=\pmat{0&-1 \\ 1&-1} [/mm] und somit als WNF [mm] \pmat{B&0\\0&B} [/mm] rausbekommen, weil [mm] x^2+x+1 [/mm] nicht über [mm] \IR [/mm] in paarweise versch. teilerfremde Primpolynome zerfällt. (Satz 6, S.157) Und es sollen nur nicht konstante Invarianteteiler dafür betrachtet werden. Die [mm] B_1 [/mm] = [mm] B_2 [/mm] = (1) brauchste also nicht.
Ich bin mir recht Sicher das das stimmt.
mfG Michi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Mi 25.06.2008 | | Autor: | eumel |
wenn du die begleitmatrizen zu [mm] x^2+x+1 [/mm] aufgestellt hast müssten das doch aber [mm] B=\pmat{0&0&-1\\1&0&-1\\0&1&-1}
[/mm]
oder seh ich das falsch?
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Nach Lorenz Formel LA II S. 153 stimmt meine Begleitmatrix. Das Polynom wird ja als normiert angenommen und die Matrix auf der Seite geht ja nur bis [mm] -a_{n-1}. [/mm] Der Koeffizient vor dem (in diesem Fall) [mm] x^2 [/mm] wird also ignoriert.
mfG Michi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:00 Do 26.06.2008 | | Autor: | eumel |
ooch.... das arme [mm] x^2... [/mm] wirds einfach ignoriert ^^
na gut, wär ich jetz net drauf gekommen xD
gruß und gut n8
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