integrieren, substituieren < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Di 04.07.2006 | | Autor: | Thome |
| Aufgabe 1 | Berechnen Sie folgende Integrale:
[mm] \integral \bruch{x³-5*x²+3*x-1}{x²}dx [/mm] (dividieren und integrieren) |
| Aufgabe 2 | | [mm] \integral \bruch{3x-2}{1+x²}dx [/mm] (in zwei Integrale zerlegen und substituieren) |
Hallo brauche mal wieder hilfe komme mit den beiden Aufgaben nicht weiter!
Wie muss ich hier verfahren?
Erstmal Stammfunktion bilden?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Thome!
> [mm]\integral \bruch{x³-5*x²+3*x-1}{x²}dx[/mm] (dividieren und integrieren)
Zerlege hier in mehrere Teilbrüche, kürze und integriere anschließend gemäß  Potenzregel:
[mm] $\bruch{x^3-5*x^2+3*x-1}{x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^3}{x^2}-\bruch{5*x^2}{x^2}+\bruch{3*x}{x^2}-\bruch{1}{x^2} [/mm] \ = \ [mm] x-5+\bruch{3}{x}-\bruch{1}{x^2} [/mm] \ = \ [mm] x-5+3*\bruch{1}{x}-x^{-2}$
[/mm]
Und nun integrieren ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Di 04.07.2006 | | Autor: | Thome |
Cool ein erfolgserlebnis den teil den du mir geschrieben hast hatte ich genauso!!
so wollen wir mal sehen ob ich es noch integriert bekomme!
f(x) = [mm] x-5+3*\bruch{1}{x}-x^-^2
[/mm]
F(x) = [mm] \bruch{1}{2}x²-5x+3*ln(x)-(-x^-^1)
[/mm]
Ist das Richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Di 04.07.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> Cool ein erfolgserlebnis den teil den du mir geschrieben
> hast hatte ich genauso!!
>
> so wollen wir mal sehen ob ich es noch integriert bekomme!
>
> f(x) = [mm]x-5+3*\bruch{1}{x}-x^-^2[/mm]
> F(x) = [mm]\bruch{1}{2}x²-5x+3*ln(x)-(-x^-^1)[/mm]
> Ist das Richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Das stimmt.
F(x) = [mm]\bruch{1}{2}x²-5x+3*ln(x)-(-x^-^1)[/mm]
kann man natürlich auch noch zu
F(x) = [mm]\bruch{1}{2}x²-5x+3*ln(x)+x^-^1[/mm]
umschreiben, und das wiederum zu
F(x) = [mm]\bruch{1}{2}x^2-5x+3*ln(x)+\br{1}{x^1}[/mm]
Aber das weisst du ja sicherlich.
MfG!
Disap
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Hallo Thome!
> [mm]\integral \bruch{3x-2}{1+x²}dx[/mm] (in zwei Integrale zerlegen und substituieren)
Hier geht es ähnlich wie bei der ersten mit dem Zerlegen (schließlich ist das auch schon als Hinweis gegeben):
[mm] $\bruch{3x-2}{1+x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3x}{1+x^2}-\bruch{2}{1+x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{2}*\bruch{2x}{1+x^2}-2*\bruch{1}{1+x^2}$
[/mm]
Beim ersten Bruch hast Du nun im Zähler exakt die Ableitung des Nenners und damit den Fall [mm] $\integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \ln|f(x)|+C$ [/mm] .
Der 2. Bruch sollte Dir nun für die Stammfunktion aus einer Deiner anderen Aufgaben bekannt vorkommen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Di 04.07.2006 | | Autor: | Thome |
Toll ich dache ich könnte mal was aber "Pustekuchen" nichts kann ich!!
für die Aufgabe muss man ja die umgedrehte Kettenregel anwenden und das kann ich mal wieder nicht!
[mm] 2*(1+x²)^{-1}
[/mm]
Könnte mir jemand die Aufgabe vorrechnen bitte, währe super nett!
ich habe die Aufgabe in keinem anderen forum gestellt!
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Tach!
Gut ich werde dir die 2. Aufgabe mal vorrechnen und auch ein bisschen genauer, damit du es besser verstehst.
Also anfangs geh ich auch so vor wie Roadrunner, weil man das eine Integral ja in 2 zerlegen soll.
[mm] \integral{\bruch{3x-2}{1+x^{2}} dx} [/mm] den Bruch spalte ich nun auf
[mm] \integral{\bruch{3x}{1+x^{2}}-\bruch{2}{1+x^{2}} dx}
[/mm]
Ich hoffe das verstehst du noch, weil das mathematisches Grundwissen ist.
Jetzt können wir die Integrale trennen, wenn es so dasteht. Falls du das nicht verstehst, dann solltest du dich nochmal mit den Integrationsregeln beschäftigen. Also haben wir dann die beiden Integrale:
[mm] \integral{\bruch{3x}{1+x^{2}} dx}-\integral{\bruch{2}{1+x^{2}} dx}
[/mm]
Ich hoffe bis jetzt hast du alles verstanden. Jetzt kommt das substituieren, was wir nur beim ersten Integral machen müssen, weil man da mit dem Integrieren leichte Probleme hat. Es soll gelten:
[mm] u=1+x^{2} [/mm] damit ist [mm] \bruch{du}{dx}= [/mm] 2x und dx ist somit [mm] \bruch{du}{2x}
[/mm]
Wenn du das nicht verstanden hast, dann solltest du dich nochmal mit Integration durch Substitution beschäftigen, weil man das da einfach so macht.
Jetzt werden wir die Substitution einsetzen und das 2. Integral ein wenig umschreiben. Also los gehts:
[mm] \integral{\bruch{3x}{u} dx} [/mm] - [mm] \integral{2*(1+x^{2})^{-1} dx}
[/mm]
Jetzt müssen wir im ersten Ausdruck das dx noch ersetzen, da sich im Integral keine x mehr befindet oder besser gesagt, befinden soll und wir hatten ja vorhins schon raus [mm] dx=\bruch{du}{2x} [/mm] und das setzen wir auch ein.
[mm] \integral{\bruch{3x}{u} * \bruch{du}{2x}}-\integral{2*(1+x^{2})^{-1} dx}
[/mm]
Wie du nun hoffentlich siehst, kann man im ersten Integral das überflüssige x kürzen kann, so dass folgendes übrigbleibt.
[mm] \bruch{3}{2} \integral{\bruch{1}{u} du}-\integral{2*(1+x^{2})^{-1} dx}
[/mm]
Störe dich bitte nicht daran, dass die [mm] \bruch{3}{2} [/mm] vor dem Integral steht. Man kann nämlich Konstanten vor das Integral schreiben, weil sie dadurch das Integral nicht ändern, so lange man daran denkt sie dann wieder dazu zu multiplizieren.
Jetzt würde ich mal sagen wird ordentlich integriert, was du zwar selber auch schaffen müsstest, aber ich mach das natürlich gerne.
Also die Stammfunktionen sind:
[mm] \bruch{3}{2}*ln(u)-2ln(1+x^{2})
[/mm]
Jetzt wird für das u wieder [mm] 1+x^{2} [/mm] eingesetzt
[mm] \bruch{3}{2}*ln(1+x^{2})-2ln(1+x^{2}) [/mm]
Und wie du siehst kann man das noch zusammenfassen und hat zum Schluss noch die Stammfunktion:
[mm] -0,5*ln(1+x^{2})
[/mm]
Wenn du jetzt irgenwelche Integrationsgrenzen hättest, müsstest du die nur noch für x einsetzt und denk dran, immer obere Grenze minus untere.
So, hoffe das hat dir geholfen, wenn du noch Frage hast/ich dir was erklären soll, dann schreib es einfach hier rein.
Sollte ich einen Fehler gemacht haben, tut es mir Leid.
schönen Tag noch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:24 Mi 05.07.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Desiderius!
Beim 2. Teilintegral hast Du Dich aber vertan.
Die Stammfunktion zu [mm] $\bruch{1}{1+x^2}$ [/mm] lautet: [mm] $\integral{\bruch{1}{1+x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \arctan(x)+C$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Mi 05.07.2006 | | Autor: | Thome |
Hi Roadrunner
vielen dank das du denn Fehler gefunden hast!!
könntest du mir die Aufgabe vielleicht mal vorrechnen ?
damit währe mir sehr geholfen,
damit ich das mal in ruhe nachvollziehen kann!!
danke schonmal im vorraus!!
MfG Thome
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Mi 05.07.2006 | | Autor: | Thome |
Leider wurde bei der Aufgabe ein fehler gemacht.
Könnte mir jemand die Aufgabe nochmal vorrechnen damit ich sie in ruhe nachvollziehen kann! das würde mir sehr weiter helfen!!
Vielen dank schon mal!!
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Hallo Thome!
Wenn Du Dir die einzelnen Antworten genau durchliest, kannst Du die die gesuchte Stammfunktion bzw. das Integral zusammen"lesen" bzw. zusammensetzen:
[mm] $\integral{\bruch{3x-2}{1+x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{2}\cdot{}\integral{\bruch{2x}{1+x^2} \ dx}-2\cdot{}\integral{\bruch{1}{1+x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{2}*\ln\left|1+x^2\right|-2*\arctan(x) [/mm] +C \ = \ [mm] \bruch{3}{2}*\ln\left(1+x^2\right)-2*\arctan(x) [/mm] +C$
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Mi 05.07.2006 | | Autor: | Desiderius |
Tach!
Tut mir Leid, ist mir wirklich ein kleiner Fehler unterlaufen, aber naja. Die Schule ist jetzt schon ein paar Wochen vorbei und ich hab gestern seid langem wieder Mathe gemacht.
Aber die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{1+x^{2}} [/mm] kannte ich so noch nicht- hatten wir halt nicht in der Schule- aber ich hab sie gerade in meinem Tafelwerk gefunden, aber stimmt schon, man kann ja so nicht vorgehen, weil das x ja quadratisch ist.
Aber naja, man lernt ja nie aus nicht wahr.
Ich hoffe du hast jetzt die richtige Stammfunktion raus.
mfg
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