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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Do 13.08.2009 | | Autor: | hamma |
berechnung eines integrals.
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{4x-2}{x^2-2x+5}dx}
[/mm]
ich habe schon versucht den nenner zu substituieren...leider führt das zu keiner lösung. könntet ihr mir bitte einen ansatz geben.
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Hallo Markus,
> berechnung eines integrals.
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> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{4x-2}{x^2-2x+5}dx}[/mm]
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> ich habe schon versucht den nenner zu
> substituieren...leider führt das zu keiner lösung.
> könntet ihr mir bitte einen ansatz geben.
Forme das Integral zunächst etwas um:
[mm] $\int{\frac{4x-2}{x^2-2x+5} \ dx}=2\cdot{}\int{\frac{2x-1}{x^2-2x+5} \ dx}=2\cdot{}\int{\frac{2x-1\red{-1+1}}{x^2-2x+5} \ dx}=2\cdot{}\int{\frac{2x-2}{x^2-2x+5} \ dx}+2\cdot{}\int{\frac{1}{x^2-2x+5} \ dx}$
[/mm]
Das erste Integral ist nun ein logarithmisches Integral, also eines der Bauart [mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$, [/mm] das bekanntermaßen als Stammfunktion [mm] $\ln(|f(x)|)+C$ [/mm] hat. Falls es dir nicht bekannt ist, leite es dir her, indem du den Nenner substituierst, also [mm] $u(x)=x^2-2x+5$ [/mm] ...
Bleibt das hintere Integral [mm] $2\cdot{}\int{\frac{1}{x^2-2x+5} \ dx}$
[/mm]
Quadr. Ergänzung: [mm] $=2\cdot{}\int{\frac{1}{(x-1)^2+2^2} \ dx}=\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{1}{\left(\frac{x-1}{2}\right)^2+1} \ dx}$
[/mm]
Nun kennst du sicher das Integral [mm] $\int{\frac{1}{z^2+1} \ dz}$
[/mm]
Damit sollte dir eine passende Substitution einfallen ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Do 13.08.2009 | | Autor: | hamma |
vielen dank für deine mühe.
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