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Forum "Integrationstheorie" - integrationsgrenzen
integrationsgrenzen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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integrationsgrenzen: dreifachintegral/volumen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:41 Mo 23.07.2007
Autor: pumpernickel

Aufgabe
Z1: [mm] \{(x,y,z)\in\IR^{3}| |x| \le 2r \wedge y^{2}+x^{2} \le r^{2}\} [/mm]
Z2: [mm] \{(x,y,z)\in\IR^{3}| |y| \le 2r \wedge x^{2}+z^{2} \le r^{2}\} [/mm]

berechne das volumen der menge Z1 [mm] \cap [/mm] Z2.

zunächst wollte ich zeigen,dass das volumen sich durch einen ausdruck der form [mm] \integral_{-r}^{r} \integral_{- \wurzel{r^{2}-z^{2}}}^{\wurzel{r^{2}-z^{2}}}{\integral_{- \wurzel{r^{2}-z^{2}}}^{\wurzel{r^{2}-z^{2}}}{ dx}dy} [/mm] dz
beschreiben lässt.

kann mir das jemand bitte erläutern,warum die integrationsgrenzen so gewählt werden können? ich hab soviel herumgerechnet ,aber darauf komme ich irgendwie nicht.
ich weiß zwar ,dass (|y|)|x| [mm] \le \wurzel{r^{2}-z^{2}} \le [/mm] 2r
warum nimmt man dann nicht einfach 2r?
und dann natürlich,dass [mm] 0\le r^{2}-z^{2} [/mm] und deswegen
die integrationsgrenze zwischen -r und r.

        
Bezug
integrationsgrenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:58 Mo 23.07.2007
Autor: Somebody


> Z1: [mm]\{(x,y,z)\in\IR^{3}| |x| \le 2r \wedge y^{2}+x^{2} \le r^{2}\}[/mm]
>  
> Z2: [mm]\{(x,y,z)\in\IR^{3}| |y| \le 2r \wedge x^{2}+z^{2} \le r^{2}\}[/mm]
>  
> berechne das volumen der menge Z1 [mm]\cap[/mm] Z2.
>  zunächst wollte ich zeigen,dass das volumen sich durch
> einen ausdruck der form [mm]\integral_{-r}^{r} \integral_{- \wurzel{r^{2}-z^{2}}}^{\wurzel{r^{2}-z^{2}}}{\integral_{- \wurzel{r^{2}-z^{2}}}^{\wurzel{r^{2}-z^{2}}}{ dx}dy}[/mm]
> dz
>  beschreiben lässt.
>  
> kann mir das jemand bitte erläutern,warum die
> integrationsgrenzen so gewählt werden können? ich hab
> soviel herumgerechnet ,aber darauf komme ich irgendwie
> nicht.
>  ich weiß zwar ,dass (|y|)|x| [mm]\le \wurzel{r^{2}-z^{2}} \le[/mm]
> 2r
>  warum nimmt man dann nicht einfach 2r?
>  und dann natürlich,dass [mm]0\le r^{2}-z^{2}[/mm] und deswegen
> die integrationsgrenze zwischen -r und r.

Ich würde mir an Deiner Stelle erst einmal eine grobe Skizze von [mm] $Z_1$ [/mm] und [mm] $Z_2$ [/mm] herstellen. Wegen [mm] $y^2+x^2\leq r^2\Rightarrow |x|\leq [/mm] r < 2r$ ist der Zusatz [mm] $|x|\leq [/mm] 2r$ bei [mm] $Z_1$ [/mm] irrelevant. [mm] $Z_1$ [/mm] ist meiner Meinung nach einfach ein (unendlich ausgedehnter) Kreiszylinder mit Radius $r$ und Achse = $z$-Achse.
[mm] $Z_2$, [/mm] andererseits, ist ein Kreiszylinder mit Radius $r$ und Achse = $y$-Achse, Mittelpunkt $(0,0)$ und Höhe [mm] $2\times [/mm] 2r$.

Wenn Du nun also zuerst $y$ im Bereich $[-r;+r]$ wählst, dann kann $x$ wegen der Beschränkung auf [mm] $Z_1$ [/mm] nur noch im Bereich [mm] $[-\sqrt{r^2-y^2};+\sqrt{r^2-y^2}]$ [/mm] variieren. Wegen der Beschränkung auf [mm] $Z_2$ [/mm] kann dann schliesslich $z$ nur noch im Bereich [mm] $[-\sqrt{r^2-x^2};+\sqrt{r^2-x^2}]$ [/mm] variieren.
Dies ergäbe also insgesamt die folgenden Integrationsgrenzen:
[mm]\displaystyle V=\int_{-r}^{+r}\int_{-\sqrt{r^2-y^2}}^{+\sqrt{r^2-y^2}}\int_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{+\sqrt{r^2-x^2}}\; dz \; dx\; dy[/mm]


Bezug
                
Bezug
integrationsgrenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:14 Mo 23.07.2007
Autor: pumpernickel

danke für deine hilfe.ich hatte jedoch vergessen zu schreiben,dass die integrationsreihenfolge dxdydz fest vorgeschrieben ist.

Bezug
                        
Bezug
integrationsgrenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Mo 23.07.2007
Autor: korbinian

Hallo
wer schreibt das vor? Ich denke der Witz solcher Mehrfachintegrale ist doch, dass man die Reihenfolge (geschickt) selber wählen kann! Oder versteh ich hier was nicht richtig?
Gruß korbinian

Bezug
                        
Bezug
integrationsgrenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Mo 23.07.2007
Autor: Somebody


> danke für deine hilfe.ich hatte jedoch vergessen zu
> schreiben,dass die integrationsreihenfolge dxdydz fest
> vorgeschrieben ist.

Zu dieser Integrationsreihenfolge [mm] $dx\;dy\;dz$ [/mm] folgende Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]

Rot ausgefüllt ein Volumenelement der Dicke $dz$ zu festem [mm] $z\in [/mm] [-r,+r]$, dessen Querschnittsfläche man durch Aufintegrieren von als dicker roter Strich angedeuteten Flächenelementen der Breite $dy$ bestimmen müsste.
Nun ist das Problem einfach dieses: dass man den Bereich der $x$-Werte für gegebenes $y$ in dieser Fläche, d.h. die Länge solcher Flächenelemente, nicht direkt in einen analytischen Ausdruck packen kann. Man könnte allenfalls eine Fallunterscheidung versuchen, aber das wäre doch so ziemlicher Müll.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: Png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                
Bezug
integrationsgrenzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:36 Mo 23.07.2007
Autor: pumpernickel

dankeschön,es war eine klausuraufgabe (mit vorgeschriebener reihenfolge) ,für die man ca 10 minuten brauchen
sollte.ich habe nur 4 von 10 punkten bekommen.ich hatte auf jeden fall schwierigkeiten mir das schnell geometrisch zu vergegenwärtigen.

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