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ich habe die folgende frage:
warum muss man bei dieser funktion nicht die partielle integration anwenden??
[mm] \integral_{}^{}{ 8 * e^x dx}
[/mm]
die zweite aufgabe ist diese
[mm] \integral_{}^{}{ 10^x + 5^x dx}
[/mm]
wie integriert man diese ??
habt dank.
niklas
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Hallo Niklas,
beim ersten Integral brauchst du keine partielle integration.
Die 8 ist ja eine multiplikative Konstante, die nicht von der Integrationsvariable x abhängt, du kannst die 8 also aus dem Integral rausziehen:
[mm] $\integral_{}^{}{ 8 \cdot{} e^x dx}=8\integral_{}^{}{e^x dx}$
[/mm]
Und das ganz normal integrieren.
Beim zweiten Integral schreibe [mm] $10^x$ [/mm] und [mm] $5^x$ [/mm] um in die Darstellung der allg. Potenz mittels der Formel [mm] $a^b=e^{b\cdot{}\ln(a)}$
[/mm]
Also [mm] $10^x=e^{x\cdot{}\ln(10)}$ [/mm] und [mm] $5^x=...$
[/mm]
Das Integral kannst du summandenweise bestimmen.
LG
schachuzipus
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ich hab das gemacht, wie du es gesagt hast
[mm] \integral_{ }^{ }{10^x + 5^x dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{ }^{ }{e^{x * ln 10} + e^{x * ln 5} dx}
[/mm]
= [mm] 10^x [/mm] * (1*ln10+x*0) + [mm] 5^x [/mm] * (1*ln5+x*0) +c
= [mm] 10^x [/mm] * ln10 + [mm] 5^x [/mm] * ln 5 +c
IN MEINer LÖSUNG muss aber ln10 und ln5 im nenner stehen also
[mm] 10^x [/mm] / ln10 + [mm] 5^x [/mm] / ln 5 + C
was nun??
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Hallo Niklas!
...und einen schönen guten Morgen !
Das ist auch korrekt, was deine Lösungen angeben!
Es gilt: [mm]f(x)=a^x[/mm] [mm] \Rightarrow[/mm] [mm]F(x)=\left \bruch{1}{ln(a)} \right*a^x[/mm]
...und damit:
[mm]\integral_{}^}10^x+5^x\, dx=\integral_{}^{}10^x\, dx+\integral_{}^{}5^x\, dx=\left \bruch{1}{ln(10)} \right*10^x+\left \bruch{1}{ln(5)} \right*5^x+C[/mm]
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
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also darf ich den rechenweg wie ich ihn vorgemacht habe, so nicht verwenden, sondern im zweifel gilt die formel, die du eben angegeben hast?? hab sie übrigens auch schon gesehen, war aber jetzt net entschlossen, wie vorgehen.
ebenfalls einen schönen guten morgen
grüße an alle fleißigen helfer.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 So 27.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Niklas!
Du scheinst mir bei Deinem Rechenweg irgendwie die partielle Integration angewandt zu haben. Diese führt hier nicht zum Ziel.
Das Integral [mm] $\integral{a^x \ dx}$ [/mm] lässt sich mittels Substitution lösen:
[mm] $\integral{a^x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{e^{x*\ln(a)} \ dx}$
[/mm]
Nun Substitution [mm] $\red{u} [/mm] \ := \ [mm] \red{x*\ln(a)}$ $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] \ = \ [mm] \ln(a)$ $\gdw$ $\blue{dx} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\bruch{du}{\ln(a)}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\integral{e^{\red{x*\ln(a)}} \ \blue{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{e^{\red{u}} \ \blue{\bruch{du}{\ln(a)}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\ln(a)}*\integral{e^u \ du} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\ln(a)}*e^{\red{u}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\ln(a)}*e^{\red{x*\ln(a)}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\ln(a)}*a^x [/mm] \ + \ C$
Gruß
Loddar
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ja so wie du das schreibst, kann ich das nachvollziehen. danke loddar.
allerdings soll ich beide summanden in einem schritt integrieren...
[mm] \integral_{}^{}{ (10^x + 5^x) dx}
[/mm]
so wie du das schreibst, kann ich sie aber nur hintereinander integrieren... was soll ich nun machen??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 So 27.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Niklas!
Diese Funktion lässt sich nur schrittweise bzw. einzeln integrieren:
[mm]\integral{10^x + 5^x \ dx} \ = \ \integral{10^x \ dx}+\integral{5^x \ dx} \ = \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Niklas
Ich wollte das noch mal kurz erklären, was ich meine:
Loddar hat das ja gerade einmal vorgrechnet, wie man das Integral [mm]\integral_{}^{}a^x\, dx[/mm] löst. Ich denke, dass, wenn man diese nachvollzogen hat und es gegenenfalls mit etwas überlegen es reproduzieren kann, so ist es durchauf legitim oder eventuell sogar föderlich das Ergebnis als sture Formel zu verwenden. Insbesondere dann, wenn es wie hier additiv angehangen ist!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
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