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| Aufgabe | Welche Werte kann das Integral
[mm] \integral_{\gamma}^{}{exp(\bruch{1}{z}) dz}
[/mm]
annehmen, wenn [mm] \gamma [/mm] ein geschlossener Weg in [mm] \IC [/mm] ist, dessen Spur, den Nullpunkt nicht enthält?
Gib alle möglichen Werte an. |
Hallo Ihr Lieben,
ich hab hier ein Problem, mit dem ich allein (und nach endlosem Bücherwälzen mit Kommilitoninnen) nicht mehr klar komme. Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben?
Ich weiß über die aufgabe bisher soviel:
- als Tipp haben wir vom Prof gesagt bekommen, dass wir uns den Index (also die Umlaufzahl) anschauen sollten: hier ist mir klar, dass, wenn die Singularität innerhalb liegt, der Index alle natürlichen Zahlen annehmen kann, je nach "Vielfachheit" des geschlossenen Weges, oder eben Null wenn die Singularität außerhalb liegt
- nur kann ich mit dem Index nicht viel anfangen, da ich ja die schöne Formel nicht anwenden kann mit 2 [mm] \pi [/mm] i mal Index mal Residuum.... da ich ja hier nicht hinter dem Integralzeichen die logarithmische Ableitung sondern "nur" exp(1/z) stehen habe.
- über exp(1/z) weiß ich, dass die Fkt. bei z=0 eine wesentliche Singularität besitzt, da der Hauptteil für unendlich viele [mm] \nu [/mm] nicht verschwindet, also nimmt die Fkt. in einer Umgebung von Null unendlich viele Werte an
- jedoch weiß ich nicht, wie ich diese Informationen zur Berechnung des Wegintegrals verwenden kann....
Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen!
Vielen Dank im Voraus!
FilleDeDanann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:47 Mo 22.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Welche Werte kann das Integral
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{exp(\bruch{1}{z}) dz}[/mm]
> annehmen,
> wenn [mm]\gamma[/mm] ein geschlossener Weg in [mm]\IC[/mm] ist, dessen Spur,
> den Nullpunkt nicht enthält?
> Gib alle möglichen Werte an.
> Hallo Ihr Lieben,
>
> ich hab hier ein Problem, mit dem ich allein (und nach
> endlosem Bücherwälzen mit Kommilitoninnen) nicht mehr klar
> komme. Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben?
>
> Ich weiß über die aufgabe bisher soviel:
>
> - als Tipp haben wir vom Prof gesagt bekommen, dass wir uns
> den Index (also die Umlaufzahl) anschauen sollten: hier ist
> mir klar, dass, wenn die Singularität innerhalb liegt, der
> Index alle natürlichen Zahlen annehmen kann, je nach
> "Vielfachheit" des geschlossenen Weges, oder eben Null wenn
> die Singularität außerhalb liegt
>
> - nur kann ich mit dem Index nicht viel anfangen, da ich ja
> die schöne Formel nicht anwenden kann mit 2 [mm]\pi[/mm] i mal Index
> mal Residuum.... da ich ja hier nicht hinter dem
> Integralzeichen die logarithmische Ableitung sondern "nur"
> exp(1/z) stehen habe.
>
> - über exp(1/z) weiß ich, dass die Fkt. bei z=0 eine
> wesentliche Singularität besitzt, da der Hauptteil für
> unendlich viele [mm]\nu[/mm] nicht verschwindet, also nimmt die Fkt.
> in einer Umgebung von Null unendlich viele Werte an
Nicht nur das: du kennst doch die Potenzreihenentwicklung von [mm] $\exp(z)$. [/mm] Durch Einsetzen von [mm] $\bruch{1}{z}$ [/mm] kannst du die Laurententwicklung von [mm] $\exp(\bruch{1}{z})$ [/mm] direkt hinschreiben, und damit hast du sofort das Residuum des Integranden.
Nachtrag: eine andere Möglichkeit ist die Substitution [mm] $z\mapsto \bruch{1}{z}$, [/mm] die für alle Kurven funktioniert, deren Spur den Nullpunkt nicht enthält.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
danke für deine Antwort, aber meine Frage ging eher dahin, wie ich das Integral bestimmen kann.
Mittlerweile bin ich drauf gekommen: es gibt eine Formel, die nicht mit der logarithmischen Ableitung arbeitet sondern direkt das Integral von f(z) angeben kann.
Das Ergebnis des Wegintegrals ist damit 2 [mm] \pi [/mm] i mal Index der Singularität mal Residuum (wie du schon sagtest ist das leicht zu bestimmen - das war ja nicht das Problem  !)
Da die Umlaufzahl ganzzahlig ist, ergeben sich folgende Werte:
0, falls die Singularität z=0 im Äußeren von [mm] \gamma [/mm] liegt
2 [mm] \pi [/mm] i n, n [mm] \in \IZ\setminus{0} [/mm] falls z=0 im Inneren des Weges [mm] \gamma [/mm] liegt und n-mal umlaufen wird!
Danke trotzdem,
viele Grüße,
FilleDeDanann
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