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Forum "Integrationstheorie" - integral kurvenlänge
integral kurvenlänge < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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integral kurvenlänge: tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:44 Fr 15.07.2011
Autor: JigoroKano

Hallo Leute, ich soll die kurzvenlänge von:

[mm] v(t)=\vektor{2 cos(t) \\ 3sin(t)} [/mm] in 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le \pi [/mm]

dann ist ja die Kurvenlänge:

[mm] \integral_{0}^{ \pie}{\wurzel{v^´(t)^2} dt} [/mm]

= [mm] \integral_{0}^{ \pi}{\wurzel{4sin^2t+9cos^2t} dt} [/mm]
= [mm] \integral_{0}^{ \pi}{\wurzel{4+5cos^2t} dt} [/mm]
=.... ?

und genau an der stelle komme ich nicht weiter... wie kann man das integrieren.... ?!

liebe grüße und danke für hilfreiche hinweise im vorraus
kano
        
Bezug
integral kurvenlänge: keine elementare Stammfunktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:19 Fr 15.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Leute, ich soll die kurvenlänge von:
>  
> [mm]v(t)=\vektor{2 cos(t) \\ 3sin(t)}[/mm] in 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le \pi[/mm]
>  
> dann ist ja die Kurvenlänge:
>  
> [mm]\integral_{0}^{ \pie}{\wurzel{v^´(t)^2} dt}[/mm]    [haee]

gemeint war da wohl     [mm]\integral_{0}^{ \pi}{\wurzel{(\dot v(t))^2} dt}[/mm]  

>  
> = [mm]\integral_{0}^{ \pi}{\wurzel{4sin^2t+9cos^2t} dt}[/mm]
>  =
> [mm]\integral_{0}^{ \pi}{\wurzel{4+5cos^2t} dt}[/mm]     [ok]
>  =.... ?
>  
> und genau an der stelle komme ich nicht weiter... wie kann
> man das integrieren.... ?!

Ja, das ist eben ein Integral, das man mit den üblichen
Methoden gar nicht bearbeiten kann. Es handelt sich um ein
sogenanntes elliptisches Integral. Lösung siehe []da.
Für Erläuterungen kannst du die dortigen Links verfolgen.

Die Integration selber kann eigentlich nur durch nume-
rische Methoden bestimmt werden.

Mathematica liefert auf die Eingabe

[mm] N[3*\left(\ EllipticE[Pi, 5/9] - EllipticE[0, 5/9]\right)] [/mm]

das Ergebnis  7.93272


LG   Al-Chw.

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