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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Di 25.10.2005 | | Autor: | rebi |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich verstehe das mit der unter- und obersummenformel bei der normalparabel nicht.. wie leitet man die formel von der zeichnung ab und wie kommt man zum schluss auf [mm] \bruch{b^3}{3} [/mm] ??ich komm da irgendwie nicht so ganz mit...
danke.rebi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Di 25.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo rebi
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Wenn du ein bissel genauer gesagt hättest. was du nicht verstehst, wärs einfacher. Ich versuchs trotzdem mal. Man will den Fächeninhalt unter der Normalparabel zwischen x=0 und x=b zu finden. Man kann aber nur den Flächeninhalt von Figuren mit geraden Grenzen. Deshalb versucht mans damit den Flächeninhalt erst mal ungefähr auszurechnen. Dazu zeichnet man unter den Graphen eine anzahl von Rechtecken, rechnet ihren Flächeninhalt einzeln aus und nennt das die Untersumme. Dann nimmt man als zweites lauter Rechtecke, die mit einer Ecke drüberrausragen, rechnet sie aus, addiert sie ud nennt das die Obersumme. Es ist direkt zu sehen, dass die Untersumme immer etwas zu klein ist, die Obersumme zu groß. Ausserdem sieht man, dass es immer genauer wird, wenn man die Rechtecke immer dünner macht.
Deshalb unterteilt man die Strecke allgemein in nTeile, die also alle die Länge b/n haben.
jetzt zuerst die Untersumme:
das erste Rechteck ist 0 hoch , das zweite fängt bei b/n an, weil x1=b/n ist [mm] y1=(\bruch{b}{n})^{2}, [/mm] das Rechteck also [mm] F1=\bruch{b}{n}*(\bruch{b}{n})^{2}=(\bruch{b}{n})^{3} [/mm] .
das nächste Rechteck fängt bei [mm] 2*\bruch{b}{n} [/mm] an, ist also bei [mm] x2=2*\bruch{b}{n} y2=(2*\bruch{b}{n})^{2} [/mm] hoch, der Flächeninhalt also [mm] F2=\bruch{b}{n}*(2*\bruch{b}{n})^{2}=2^{2}*(\bruch{b}{n})^{3} [/mm] . Ich hoff du kannst jetzt genauso den Flächeninhalt der bei [mm] 3*\bruch{b}{n} [/mm] anfangt ausrechnen. [mm] F3=3^{2}*(\bruch{b}{n})^{3} [/mm] usw, usw. das letzte Rechteck geht bei [mm] (n-1)*\bruch{b}{n} [/mm] los und ist [mm] ((n-1)*\bruch{b}{n})^{2} [/mm] hoch [mm] Fn-1=(n-1)^{3}*(\bruch{b}{n})^{3}.
[/mm]
jetzt muss man alle addieren. da bei alle Fs [mm] (\bruch{b}{n})^{3} [/mm] vorkommt, klammert man das aus und hat dann [mm] F0+F1+F2+........+F(n-1)=(\bruch{b}{n})^{3}*(0+1^{2}+2^{2}+3{2}+.......+(n-1)^{2})
[/mm]
und wenn n groß ist hat niemand Lust das auszurechnen. Dann greift man in die Trickkiste der Mathematiker und sucht, ob das nicht schon mal jemand gemacht hat. Die Trickkiste heisst Formelsammlung! Und da findet man zum Glück was:
[mm] $(0+1^{2}+2^{2}+3{2}+.......+n^{2})=\frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6}$
[/mm]
bei uns geht die Summe nur bis (n-1) also setz ich statt n, n-1 ein und habe [mm] $\frac{(n-1)*n*(2n-1)}{6} =\frac{n^3}{3}-n^2+\frac{n}{3}$.
[/mm]
Das setzt du in die Summe ein und hast dann [mm] $\frac{b^3}{3}*(1-3*\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}$
[/mm]
So jetzt sind wir am End, denn für sehr große n kann man [mm] -3*\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} [/mm] einfach weglassen.
Für die Obersumme läuft alles fast gleich, das solltest du jetzt können.
Gruss leduart
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
Flächenbestimmung