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hab eine frage zu einem integral
in meiner formelsammlung zu wichtigen grundintegralen ist zu einem integral folgende stammfunktion angegeben:
[mm] \integral_{}^{}{1/(a² - x²) dx} [/mm] = 1/2 ln |a + x / a - x | 1/2 ln |(a + x) / (a - x) |
in einer aufgabe, die ich geradeeben rechnen will, steht in der lösung jedoch:
[mm] \integral_{}^{}{1/(a² - x²) dx} [/mm] = 1/a arctanh (x/a)
welche lösung ist nun richtig? kann mir da vllt jemand von euch helfen?
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sry, der erste lösungsvorschlag muss natürlich richtigerweise lauten:
[mm] \integral_{}^{}{1/ (a² - x²) dx} [/mm] = 1/2 ln |(a + x) / (a - x) |
hab es aus versehen doppelt abgetippt
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Hallo Rudi,
ich kann leider deinen ersten Ausdruck nicht richtig interpretiere, da fehlt doch was... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Es kommt auf jeden Fall das raus:
[mm] $\int{\frac{1}{a^2-x^2}dx}=\frac{1}{2a}\left(\ln(a+x)-\ln(a-x)\right)=\frac{1}{2a}\ln\left(\frac{a+x}{a-x}\right)$
[/mm]
Das kannst du sehr leicht "zu Fuß" ausrechnen, wenn du mal ne Partialbruchzerlegung machst:
[mm] $\frac{1}{a^2-x^2}=\frac{1}{(a-x)(a+x)}=\frac{A}{a-x}+\frac{B}{a+x}$
[/mm]
So kannst du dein Integral in die Summe zweier einfach zu behandelnder Integrale aufteilen...
Nun zur 2.Lösung:
[mm] $\int{\frac{1}{a^2-x^2}dx}=\frac{1}{a}\cdot{}atanh\left(\frac{x}{2}\right)$
[/mm]
Forme doch mal den $atanh$ um
Es ist [mm] $atanh(z)=\frac{\ln(-z-1)}{2}-\frac{\ln(z-1)}{2}$
[/mm]
und [mm] $atanh\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\ln\left(-\frac{x+a}{a}\right)}{2}-\frac{\ln\left(\frac{x-a}{a}\right)}{2}$
[/mm]
Forme das mal um und dann noch [mm] $\cdot{}\frac{1}{a}$, [/mm] dann solltest du genau auf die Lösung zu Fuß mit der PBZ kommen...
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Sa 15.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Rudi!
Verwende doch mal die Defintion für $ar\tanh(x)$ und setze dann für jedes $x_$ ein $\bruch{x}{a}$ ein:
$$ar\tanh(x) \ = \ \bruch{1}{2}*\ln\left\left(\bruch{1+x}{1-x}\right)$$
Nach dem Einsetzen von $\bruch{x}{a}$ noch etwas umformen bzw.  Logarithmusgesetze anwenden, um die Gleichheit zu zeigen.
Allerdings ergibt sich (sihe auch oben) als Stammfunktion:
$$\integral{\bruch{1}{a^2 - x^2} \ dx} \ = \bruch{1}{\red{2}*a}* arc\tanh\left(\bruch{x}{a}\right)+c$$
Gruß
Loddar
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Hi Loddar,
> Hallo Rudi!
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> Verwende doch mal die Defintion für [mm]ar\tanh(x)[/mm] und setze
> dann für jedes [mm]x_[/mm] ein [mm]\bruch{x}{a}[/mm] ein:
Aber ganu das habe ich doch vorgeschlagen 
> [mm]ar\tanh(x) \ = \ \bruch{1}{2}*\ln\left\left(\bruch{1+x}{1-x}\right)[/mm]
Das ist genau dasselbe wie $ [mm] atanh(z)=\frac{\ln(-z-1)}{2}-\frac{\ln(z-1)}{2} [/mm] $
> Nach dem Einsetzen von [mm]\bruch{x}{a}[/mm] noch etwas umformen
> bzw. Logarithmusgesetze anwenden, um die Gleichheit zu
> zeigen.
>
> Allerdings ergibt sich (sihe auch oben) als Stammfunktion:
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{a^2 - x^2} \ dx} \ = \bruch{1}{\red{2}*a}* arc\tanh\left(\bruch{x}{a}\right)+c[/mm]
>
> Gruß
> Loddar
>
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Sa 15.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schachuzipus!
Schon klar! Aber ich wollte hier die Gleichheit zeigen, indem man von hinten an die Sache herangeht und dann die beiden (vermeintlich unterschiedlichen) Stammfunktionen vergleicht.
Gruß
Loddar
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danke für die schnelle ausführliche antwort:))
hab jetzt aber noch ein kleines problem bei einem weiteren integral:
[mm] \integral_{}^{}{(a - x)^{-1/3} dx}
[/mm]
es müsste doch doch eigentlich folgendes rauskommen:
3/2 (a - [mm] x)^{2/3}
[/mm]
in meiner lösung steht allerdings ein zusätzliches minuszeichen, also:
- 3/2 (a - [mm] x)^{2/3}
[/mm]
weiß jemand von euch, wo das herkommt?
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Hi,
das Minuszeichen kommt von dem [mm] $(a\red{-}x)$ [/mm] in der Klammer.
Zur Kontrolle leite mal "dein Ergebnis" wieder ab, da kommt dann nicht [mm] $(a-x)^{-\frac{1}{3}}$ [/mm] raus...
Du kannst ja mal zur Bestätigung der richtigen Lösung das Integral über die Substitution $t:=a-x$ lösen.
LG
schachuzipus
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