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| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{e^{x}+e^{-x}}{1+e^{x}} dx} [/mm] |
....wer kann dieses gemeine Gerät lösen? mit substitution z=e+1 ginge es eigentlich, aber der Taschi spukt was ganz anderes aus....
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hallo David,
mein Vorschlag:
mache zuerst einmal eine Polynomdivision:
[mm] $\left(e^x+e^{-x}\right):\left(e^x+1\right)=1+e^{-x}-\frac{2}{1+e^x}$
[/mm]
Also kannst du dein Ausgangsintegral in die Summe dreier (oder zweier, wenn du's zusammenfasst) Integrale zerlegen, von denen nur das letzte "spannend" ist 
[mm] $\int\frac{e^x+e^{-x}}{1+e^x} [/mm] \ [mm] dx=\int\left(1+e^{-x}\right) [/mm] \ dx \ - \ [mm] 2\cdot{}\int\frac{1}{1+e^x} [/mm] \ dx$
Hier kannst du mit der Substitution [mm] $u:=1+e^x$ [/mm] ansetzen... und dann ist - so wie ich das sehe - noch eine Partialbruchzerlegung angesagt
Kommst du damit dem Biest bei?
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | $ [mm] \left(e^x+e^{-x}\right):\left(e^x+1\right)=1+e^{-x}-\frac{2}{1+e^x} [/mm] $
?? |
Hallo erstmal, und Danke für Deine Bemühungen, aber mit dieser polynomdivision komm ich nicht mit leider! Komme da auch bei einer Rückrechnung nicht mehr auf den Ausgangsbruch...
Kannste vielleicht (wenn Zeit) noch was dazu sagen?
Vielen Dank nochmal ...David
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathefrager!
Um diesen unangenehmen negativen Exponenten zu eliminieren, solltest Du zunächst den Bruch mit [mm] $e^x$ [/mm] erweitern:
[mm] $$\bruch{e^x+e^{-x}}{e^x+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^{2x}+1}{e^{2x}+e^x}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo David,
jo, hier die Rechnung für die PD:
[mm] $\left(e^x+e^{-x}\right):\left(1+e^x\right)=\red{1}\blue{+e^{-x}}\green{-\frac{2}{1+e^x}}$
[/mm]
[mm] $-\underline{\left(\red{1+e^x}\right)}$
[/mm]
$ \ $ [mm] $e^{-x}-1$
[/mm]
$ [mm] -\underline{\left(\blue{e^{-x}+1}\right)}$
[/mm]
[mm] \qquad $\green{-2}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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